Живой учебник геометрии - [12]
Другое свойство каждого прямоугольника то, что противоположные его стороны равны между собою. В этом можно убедиться, если соединить противоположные вершины прямоугольника прямой линией, т. е. провести в нем диагональ. Соединив А с С (черт. 79) мы получим два треугольника АВС и ADC. Легко показать, что эти треугольники равны друг другу: сторона АС – общая, уг. 1 = уг. 2, потому что это перекрестные углы при параллельных АВ и CDпо такой же причине равны углы 3 и 4. По стороне же и двум углам треугольники ABCи ACDравны; следовательно, сторона АВ = стороне DС, и сторона AD= стороне ВС.
Такие четыреугольники, у которых, как у прямоугольников, противоположные стороны п а р а л л е л ь н ы, называются параллело граммами. На черт. 80 изображен пример параллелограмма: АВ параллельно DС, а ADпараллельно BС.Черт.80
Прямоугольник – один из параллелограммов, а именно такой, у которого все углы прямые. Легко убедиться, что каждый параллелограмм обладает следующими свойствами:
П р о т и в о п о л о ж н ы е у г л ы п а р а л л ел о г р а м м а р а в н ы; п р о т и в о п о л о ж н ы е с т о р о н ы
п а р а л л е л о г р а м м а р а в н ы.
Чтобы убедиться в этом, проведем в параллелограмме ABCD(черт. 81) прямую ВD (диагональ) и сравним треугольники ABDи ВDC. Эти треугольники равны (случай УСУ): BD– общая сторона; уг. 1 = уг. 2, уг. 3 = уг. 4 (почему?). Отсюда вытекают перечисленные раньше свойства.
Параллелограмм с четырьмя равными сторонами называется р о м б о м.
Повторительные вопросы
Какая фигура называется квадратом? Прямоугольником? – Что называется диагональю? – Какая фигура называется параллелограммом? Ромбом? – Укажите свойства углов и сторон всякого параллелограмма. – Какой прямоугольник называется квадратом? – Какой параллелограмм называется прямоугольником? – В чем сходство и различие между квадратом и ромбом.
Применения
15. Квадрат чертят так: отложив одну сторону проводят к ней на концах перпендикуляры, откладывают на них такие же длины и соединяют концы прямой линией (черт. 82). Как убедиться, что четвертая сторона, начерченного четырехугольника равна трем остальным и что все углы его прямые?
Р е ш е н и е. Если построение велось так, что к стороне АВ в точках А и В были проведены перпендикуляры, на которых отложены: АС = АВ и DВ = AB, то остается доказать, что углы С и Dпрямые и что CDравно АВ. Для этого проведем (черт. 83) диагональ AD. Уг. CAD= ADB, как соответственные (при каких параллельных?); АС = DB, а потому треугольники CADи BADравны (по признаку СУС). Отсюда выводим, что CD= ABи уг. С = прямому углу В. Как доказать, что четвертый угол CDBтоже прямой?
16. Как начертить прямоугольник? Почему начерченная фигура может быть названа прямоугольником? (Показать, что все углы начерченной фигуры прямые).
Р е ш е н и е сходно с решением предыдущей задачи.
17. Докажите, что обе диагонали прямоугольника равны.
Р е ш е н и е (черт. 84) вытекает из равенства треугольников АВС и АВD (по признаку СУС).
18. Докажите, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Р е ш е н и е. Сравнивая (черт. 85) треугольники АВО и DСО, убеждаемся, что они равны (по признаку УСУ). Отсюда АО = ОС, 0В = ОD.
19. Длина общего перпендикуляра между двумя параллельными прямыми называется р а с с т о я н и е м между ними. Докажите, что расстояние между параллельными всюду одинаково.
У к а з а н и е: Какую фигуру образуют параллельные линии с двумя перпендикулярами между ними?
IV. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
§ 24. Квадратные меры. Палетка
В фигурах часто приходится измерять не только д л и н у линий и у г л ы между ними, но и величину того участка, который они охватывают, – т. е. их п л о щ а д ь. В каких мерах измеряется площадь? За меру д л и н ы принята определенная д л и н а (метр, сантиметр), за меру у г л о в – определенный у г о л (1°); за меру же п л о щ а д е й принята определенная п л о щ а д ь, а именно, площадь квадрата со стороною в 1 метр, в 1 см и т. д. Такой квадрат называется «квадратным метром», «квадратным сантиметром» и т. д. Измерить площадь, значит узнать, сколько в ней квадратных единиц меры.
Если измеряемая площадь не велика (умещается на листе бумаги), ее можно измерить следующим образом. Прозрачную бумагу разграфляют на сантиметровые квадраты и накладывают на измеряемую фигуру. Тогда нетрудно прямо сосчитать, сколько квадратных сантиметров содержится в границах фигуры. При этом неполные квадраты близ границы принимают (на глаз) за полквадрата, за четверть квадрата и т. п., или мысленно соединяют их по несколько в целые квадраты. Разграфленная так прозрачная бумага называется п ал е т к о й. Этим способом часто пользуются для измерения площадей неправильных участков на плане.
Но не всегда бывает возможно и удобно накладывать сеть квадратов на измеряемую фигуру. Нельзя, например, измерять таким образом площадь пола или земельного участка. В таких случаях, вместо прямого измерения площади, прибегают к неприятному, состоящему в том, что измеряют только длину некоторых л и н и й фигуры и производят над полученными числами определенные действия. В дальнейшем мы покажем, как это делается.
