Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики - [57]
«На чем же может быть основана уверенность в справедливости принципа нормализации алгорифмов, то есть в справедливости тех предсказаний, которые делаются на его основании? В основном на том же самом, на чем основана наша уверенность в правильности известных нам физических законов, на опыте.
А опыт, подтверждающий принцип нормализации, огромен. Ведь математикой люди занимаются довольно долго — не менее 4000 лет. За это время было придумано немало различных алгорифмов. И среди них не известно ни одного ненормализуемого. Как-никак, а это веский довод в пользу принципа нормализации. Не менее веский, чем, скажем, опытное подтверждение закона сохранения энергии»[20].
Наличие нескольких, а не одного, тезисов, причем тезисов между собой эквивалентных (несмотря на их большие внешние различия), имеет важное значение для осмысления процесса познания. Аппарат рекурсивных функций наиболее «архаичен», он ближе всего к классической математике, он связан с числами и только с числами. Машины Тьюринга уже отстоят значительно дальше от тех понятий, которые по традиционному мнению должны интересовать математиков. Но «механичность» мышления Тьюринга имеет те же корни, что и мышление великого Лейбница, мечтавшего построить машину, «делающую все». В лице Тьюринга математика вновь повернулась к своему первоисточнику — материальным процессам, теперь уже будучи в состоянии промоделировать значительную их часть своими элементарными знаковыми операциями. Наконец, алгорифмы Маркова на первый взгляд могут показаться даже вообще не имеющей отношения к математике «игрой в слова». Но как раз в этом резком расширении круга рассматриваемых структур и процессов и сказалась логическая зрелость математики и ее характернейшая тенденция.
Так к началу 50-х годов нашего века, то есть к моменту выхода на сцену электронных вычислительных машин, как итог развития всей предшествующей математики и логики и как непосредственный результат работ Чёрча, Тьюринга и Маркова, стал вырисовываться обширный комплекс процессов, обладающих следующими особенностями.
1. Они в принципе строго детерминированы, то есть каждый предыдущий этап полностью определяет последующий.
2. Они потенциально осуществимы — в том смысле, что при достаточно долгом протекании без внешних помех они приводят (могут приводить) к фактическому результату.
3. Они имеют «атомарное» строение — складываются из совокупности элементарных операций, которых имеется всего несколько видов.
4. Элементарные операции, сочетание которых порождает бесконечное разнообразие таких процессов, настолько хорошо обозримы, наглядны и соответствуют особенностям человеческого восприятия и мышления, что их нетрудно объяснить любому человеку.
А существуют ли в мире другие процессы?
Вопрос этот не случаен. В случае отрицательного ответа в сферу описанных процессов будут включены и явления. происходящие в нас самих, наша внутренняя жизнь. Эта возможность представляется оскорбительной, унижающей человеческое достоинство. Признать полную принципиальную детерминированность психических явлений - не значит ли это признать несвободу поведения человека? И разве можно какую-то заводящуюся ключом игрушку — машину Тьюринга — сопоставить с поведением вольной в своих поступках личности, например, с поведением и творческой работой Пушкина? Да не только Пушкин, разве любой из нас, самый скромный из нас, согласится признать, что его действия в каждую данную секунду, в каждую долю секунды, все его тончайшие помыслы, фантазии, мечты, стремления, эмоции могут быть описаны какими-то очень простыми рекурсивными функциями?
В этих возражениях проявляется естественная неприязнь человека к автоматизму, бездушию, слепому выполнению программы. Конечно, автоматизм в поведении человека отвратителен, и прожить, строго выполняя намеченную программу, просто невозможно. Конечно, все, даже фанатически преданные математике отшельники, не могли бы и дня просуществовать без неожиданных для самих себя поступков, без юмора — этого воплощения тяги к странности и непредвиденности. Все это так, но ведь речь идет не об этом. Вопрос ставится следующим образом: состоит ли грандиозно сложный процесс рождения, функционирования и умирания человека (как и любой другой процесс во Вселенной) из композиции гигантского числа рекурсивно описываемых процессов — подобно тому, как прекрасный цветок розы состоит (как физическое тело) из гигантского количества ничем не пахнущих и не имеющих цвета атомов?
В такой постановке проблема становится серьезной.
8. ВОЗМОЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН И ЧЕЛОВЕК
Множественность типов вычислимости есть та основа, которая позволяет подвергнуть анализу запутанный клубок проблем, относящихся к вопросу: «Что может делать электронная вычислительная машина?». ЭВМ в первом приближении можно охарактеризовать как гигантский арифмометр, работающий с огромной скоростью. Однако это — только в первом приближении: по сравнению с арифмометром у ЭВМ имеются две принципиально важные конструктивные особенности.
Обычный арифмометр (например, марки «Феликс») после выполнения заданной ему операции сложения, умножения и т. д, прекращает работу и ждет дальнейших «распоряжений». Чтобы выполнить с помощью арифмометра действие над полученным результатом, нужно западе набрать последний на его клавиатуре и нажать на соответствующую кнопку, а если арифмометр не электрический, то покрутить ручку. Электронная вычислительная машина может повторять арифметическую операцию сколько угодно раз подряд, беря в качестве исходных данных числа, полученные ею на одном из предыдущих этапов. На арифмометре, например, легко можно прибавить к любому числу единицу, но чтобы после этого сделать еще что-то, требуется новое вмешательство человека.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Новая книга В.Н. Тростникова, выходящая в издательстве «Грифон», посвящена поискам ответов на судьбоносные вопросы истории России.За последнее десятилетие мы восстановили и частную собственность, и свободу слова, ликвидировали «железный занавес»… Но Запад по-прежнему относится к нам необъективно и недружественно.Ожесточаться не нужно. Русские – самый терпеливый народ в мире, и мы должны перетерпеть и несправедливое отношение к себе Запада. Ведь придёт час, когда Запад сам поймёт необходимость заимствовать у нас то, что он потерял, а мы сохранили, – Христа.Книга рассчитана на широкий круг читателей.
Бирюков Борис Владимирович — доктор философских наук, профессор, руководитель Межвузовского Центра изучения проблем чтения (при МГЛУ), вице-президент Русской Ассоциации Чтения, отвечающий за её научную деятельность.Сфера научных интересов: философская логика и ее история, история отечественной науки, философия математики, проблемы оснований математики. Автор и научный редактор более пятисот научных трудов, среди них книги, входящие в золотой фонд отечественной историко-научной и логической мысли. Является главным научным редактором и вдохновителем научного сборника, издаваемого Русской Ассоциацией Чтения — «Homo legens» («Человек читающий»).
Виктор Николаевич Тростников (род. 1928 г.), писатель, ученый, философ. Профессор Российского Православного Университета им. св. Иоанна Богослова. Автор более ста работ по различным разделам физики и математики, а также книг по научной апологетикеКнига содержит размышления автора об опыте осмысления Вечных Истин в свете современного знания.
Цель «Трактата о любви» В.Н. Тростникова – разобраться в значении одного-единственного, но часто употребляемого нами слова «любовь». Неужели этому надо посвящать целое исследование? Да, получается так, потому что слово-то одно, а значений у него много. Путь истинной любви обрисован увлекательно, понятно и близко молодому и просвещенному современному читателю, который убедится, что любовь в ее высшем проявлении есть любовь к Богу. Это книга – для всех любящих сердец.
Опубликовано в журнале «Юность» № 12 (163), 1968Раздел «Наука и техника».
Таблицу умножения перестроена, сделана новая картинка. Объём материала для запоминания сокращён примерно в 5 раз. Можно использовать самую сильную – зрительную память (в прежних картинках таблицы это невозможно). Ученики запоминали таблицу за один – полтора месяца. В ней всего 36 "домиков". Умножение и деление учаться одновременно. Книга обращена к детям, объяснение простое и понятное. Метод позволяет намного облегчить деление с остатком и сокращение дробей. Метод признан Министерством Просвещения России как полезная инновация (Муниципальное образование, инновации и эксперимент 2013/1)
«Время переменных» – веселая книга о математике вокруг нас. Двадцать восемь увлекательных рассказов, посвященных разным аспектам математики, сопровождаются забавными авторскими рисунками. Математический анализ для Орлина – это универсальный язык, способный выразить все, с чем мы сталкиваемся каждый день, – любовь, риск, время и, самое главное, постоянные изменения. Тема движения времени находит отражение и в названиях частей книги – «Мгновения» и «Вечности», и в ее персонажах – от Шерлока Холмса до Марка Твена и Дэвида Фостера Уоллеса.
Несмотря на загадочное происхождение отдельных своих элементов, математика не рождается в вакууме: ее создают люди. Некоторые из этих людей демонстрируют поразительную оригинальность и ясность ума. Именно им мы обязаны великими прорывными открытиями, именно их называем пионерами, первопроходцами, значимыми фигурами математики. Иэн Стюарт описывает открытия и раскрывает перед нами судьбы 25 величайших математиков в истории – от Архимеда до Уильяма Тёрстона. Каждый из этих потрясающих людей из разных уголков мира внес решающий вклад в развитие своей области математики.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.