Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики - [21]

.

Значения знаков → и ≡ вытекают из этих таблиц. В силу того, что (α → β) есть сокращение для (~α V β), (α ≡ β)—сокращение для ((~α V β) & (α V ~β)); можно считать, что знаки → и ≡ задаются таблицами 4 и 5 соответственно.

Поясним, как строится, например, табл. 5. Мы начинаем с того, что строим колонку для формулы ~а, пользуясь табл. 1, задающей операцию (функцию) отрицания; затем, пользуясь табл. 3, определяющей функцию, называемую дизъюнкцией, строим колонку для формулы (~α V β) аналогичным образом строится колонка для формулы (α V ~β) наконец, опираясь на табл. 2, задающую функцию, называемую конъюнкцией, мы строим колонку для конъюнкции ((~α V β) & (α V ~β)) Задание функции ≡ получено: его дают две первые левые (аргументные) колонки табл. 5 и ее крайняя правая колонка.

Задав описанным способом интерпретацию пропозициональных переменных и связок, мы тем самым получаем интерпертацию и для любой формулы[13]: каждая формула осмысливается как функция (таблица), которая может быть построена по данной формуле.

Возьмем, например, формулу (A1 & (A2 V ~A1)) и определим, какую функцию она задает, построив соответствующую таблицу (табл. 6).

Построим таблицу для формулы (А1& ~(А2 V A1))» проверку правильности которой мы выше предоставили читателю. Мы получим табл. 7.

Из нее видно, что эта формула принимает значение 0 при любых значениях своих аргументов. Она называется поэтому тождественно равной нулю. Если мы возьмем отрицание только что рассмотренной формулы, то есть формулу ~(А1 & ~(А2 V A1)), то очевидно, что она задает функцию, которая принимает значение 1 при любых значениях своих аргументов, то есть функцию, тождественно равную единице.

Функции, тождественно равные нулю, неотличимы друг от друга: ведь какие бы значения ни принимали аргументы (и сколько бы их ни было), функции эти все равно принимают одно и то же значение, то есть ведут себя как константы—постоянные. То же самое можно сказать и о функциях, тождественно равных единице. Учитывая это, функции, тождественно равные нулю, мы отождествим с константой 0, а функции, тождественно равные единице, с константой 1 (и, следовательно, будем считать, что значением первой константы является число 0, а второй — число 1).

Для завершения интерпретации нам осталось только установить, при каких условиях равенство α = β следует признать верным (истинным). Будем считать, что α = β есть верное равенство, если α и β задают одну и ту же функцию, то есть, что если построить таблицы, соответствующие формулам α и β, таблицы эти полностью совпадут[14].

Нетрудно проверить, что каждая из 17 схем аксиом задает верное равенство. Проверим это, например, для схемы аксиом 6 (табл. 8).

Мы видим, что колонки нулей и единиц для схем формул (α V (β & γ)) и ((а V β) & (α V γ)) создают, что означает: при любом выборе α, β, γ они переходят в пару формул, задающих одну и ту же функцию. Таким образец, можно сказать, что схема аксиом 6 в нашей интерпретации оказывается схемой верных равенств.

Наконец, нетрудно проверить (эту проверку мы предоставляем читателю), что, действуя по нашим правилам вывода, мы из верного равенства всегда будем выводить верное же равенство.

В силу оказанного мы можем мыслить задаваемый нашим исчислением процесс порождения верных равенств. В этом процессе участвуют схемы аксиом, каждая из которых порождает бесконечно много верных равенств, и правила [b], при каждом применении! которых к верным равенствам порождается верное равенство. Как конкретно проходит подобный процесс порождения, мы покажем в связи со следующей интерпретацией — логической.

Логическая интерпретация (на высказываниях)

Будем понимать под высказыванием выражение некоторого языка (безразлично какого —естественного, например русского, или какого-либо искусственного, например алгоритмического, применяемого в программировании! ЭВМ), которое либо истинно, либо ложно (и не может быть тем и другим одновременно). Назовем истинность («истинно») и ложность («ложно») истинностными значениями высказываний. Будем считать, что на место пропозициональных переменных в формулы подставляются высказываний при этом если подставляется высказывание, обладающее истинностным значением «истинно» (соответственно «ложно»), то его же принимает и та пропорциональная переменная, на место которой подставлено данное высказывание.

Связки определим так же, как и в первой интерпретации, только вместо 1 в таблицах будем вписывать букву «и» («истинно»), а вместо 0 — «л» («ложно»). Тогда операция ~ окажется операцией обычного отрицания высказываний, формула ~α походит в истинное высказывание, если а при данной подстановке истинностных значений вместо всех своих переменных переходит в ложное высказывание, и в ложное высказывание, если а переходит в истинное высказывание[15]; операция & (конъюнкция) окажется соответствующей логическому союзу «и» и будет порождать истинное высказывание вида (α & β) тогда, и только тогда, когда а и β истинны (то есть интерпретируются истинными высказываниями); операция V будет соответствовать слабой дизъюнкции, то есть соединительно-разделительному союзу «или» естественного языка: формула (а V β) принимает значение «истинно» тогда, когда хотя бы одна из двух формул, а, β, переходит в истинное высказывание. Что касается введенных по определению знаков → и ≡, то первый из них соответствует логическому союзу «если..., то» (логическая операция