Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики - [23]

Шрифт
Интервал



Прокомментируем каждый из тринадцати шагов, а затем подвергнем анализу результат преобразования. На шагах (1), (2) и (3) используется определение знака импликации как средства сокращенной записи формул (п. V на с. 57). В результате исследуемое импликативное выражение переходит в формулу нашего исчисления. На шаге (4) применяется первый закон Де Моргана, а на шаге (5) дважды — второй закон Де Моргана. Шаг (6) заключается в снятии двойных отрицаний. Далее, на шаге (7) происходит раскрытие скобок — применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. На шаге (8) по закону коммутативности дизъюнкции происходит перестановка членов в формулах ((A1 & А2) V A3) и ((A1 & A2) V ~A1)

На шаге (9) снова, причем дважды, применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Шаг (10) состоит в том, что из четырехчленной конъюнкции на основании законов 17 и 14 исключается тождественно-истинный член (~А1 V A1). На шаге (11) применяется закон коммутативности дизъюнкции, а на шаге (12) происходит раскрытие скобок по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Обращаем внимание на то, что в наших преобразованиях использовалась ассоциативность операций дизъюнкции и конъюнкции, позволившая в формах, представляющих собой многочленные дизъюнктивные либо конъюнктивные формулы, удалить все скобки (это означает, что скобки мыслятся расставленными любым допустимым, то есть не нарушающим свойства выражения «быть формулой», образом)[18].

Этим же свойством, да еще законом коммутативности, мы пользовались на шаге (13), когда в трех членах конъюнктивной формулы, полученной на предыдущем этапе (они представляют собой дизъюнктивные формулы), расположили буквы в порядке возрастания индексов, сгруппировав вместе буквы и их отрицания. Подчеркнем, что на каждом из тринадцати шагов мы применяли наше «основное» правило вывода — производили замену равного равным, причем иногда по нескольку раз.

Исследуем теперь полученное выражение. Как и предыдущая формула, оно представляет собой конъюнктивную формулу, состоящую из трех дизъюнктивных формул. Рассмотрим первую из них, взятую с удобной для наших целей расстановкой скобок: (А1 V ~А2) V (A3 V ~A3); формула (А3 V ~A3) есть тождественно-истинная форма (частный случай закона исключенного третьего); но раз в дизъюнктивной формуле (А1 V ~A2) V (A3 V ~A3) один из членов тождественно-истинен, то и вся формула также тождественно-истинна — это вытекает из табличного определения дизъюнкции в терминах истинностных значений.

В остальных двух дизъюнктивных формулах исследуемого выражения тоже «присутствует» закон исключенного третьего, поэтому каждая из них также тождественно-истинна. Итак, B нашей трехчленной конъюнкции каждый член оказывается тождественно-истинным. Вспомнив табличное задание операции конъюнкции (легко распространяемое на конъюнктивные формулы с произвольным числом членов), мы приходим к заключению, что наша результирующая формула тождественно-истинна. Но, в силу транзитивности отношения равенства, исходная формула равна результирующей, значит, и она тождественно-истинна.

Чтобы у читателя не создалось впечатления, что аналитические методы обязательно приводят к столь пространным выкладкам, мы решим эту же задачу другим способом. Предварительно заметим, что равенство вида

((~а V β) &(γ V а)) = (~а V β) &(γ V α) & (γ V β)) (*)

является верным равенством, каковы бы ни были формы α, β и γ этом можно убедиться, производя его табличную проверку; равенство (*) можно вывести и непосредственно из наших постулатов — осуществить это преобразование мы предоставляем читателю).

Возьмем конъюнкцию наших посылок и исключим из нее знаки → : ((А1 → ~А2) & (A3 → А1)) = ((~А1 V ~А2) & (~A3 V A1)). Но в силу (*): ((~A1 V ~A2) & (~А3 V A1)) = ((A1 V ~A2) & (~A3 V A1) & (~A3 V ~A2))

(здесь роль α играет формула A1 роль β — формула ~A2 роль γ — формула ~A3)- Но очевидно, что из конъюнктивной формулы, сколько бы членов она ни имела, следует каждый ее член (так как не может быть, чтобы конъюнктивная формула была истинна, а какой-либо ее член — нет). Значит, если конъюнкция наших посылок истинна, истинна и формула (~A3 V ~A2) (поскольку она есть один из членов трехчленной конъюнкции, равной конъюнкции посылок). Значит, (~A3 V ~A2) есть следствие из посылок. Но в силу определения (~A3 V ~A2) = (A3 → ~A2)- Задача решена.

Тождественно-истинные высказывания служат для выражения логически правильных форм рассуждений. Для иллюстрации этого положения приведем решение задачи восходящей к немецкому логику и математику Э. Шредеру — одному из продолжателей алгебро-логической линии исследований, начало которой было положено Булем[19]. «Один химик, имея в виду построить на этом дальнейшие заключения, выдвинул утверждение: «Соли, которые не окрашены, суть соли, которые не являются органическими телами, или суть органические тела, которые не окрашены». Другой химик с этим не согласился. Кто был прав?»

В рассуждении первого химика можно выделить следующие элементарные высказывания (суждения): «Нечто есть соль», «Нечто есть органическое тело» и «Нечто окрашено». Все рассуждение можно представить в виде следующего сложного условного суждения: «Если нечто есть соль и (это нечто) не окрашено, то (это нечто) есть соль и не есть органическое тело или есть органическое тело и не окрашено». Заменив элементарные высказывания соответственно переменными А1 A2 и A3, а вместо логических союзов «и», «или» и «если..., то» употребив знаки &, V и →, мы можем представить логическую форму этого сложного высказывания следующим выражением: ((А1 & ~A3) → ((A1 & ~A2) V (А2 & ~A3))). Для решения спора между двумя химиками надо определить, представляет ли оно тождественно-истинное высказывание.


Еще от автора Борис Владимирович Бирюков
Теория смысла Готлоба Фреге

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Социальная мифология, мыслительный дискурс и русская культура

Бирюков Борис Владимирович — доктор философских наук, профессор, руководитель Межвузовского Центра изучения проблем чтения (при МГЛУ), вице-президент Русской Ассоциации Чтения, отвечающий за её научную деятельность.Сфера научных интересов: философская логика и ее история, история отечественной науки, философия математики, проблемы оснований математики. Автор и научный редактор более пятисот научных трудов, среди них книги, входящие в золотой фонд отечественной историко-научной и логической мысли. Является главным научным редактором и вдохновителем научного сборника, издаваемого Русской Ассоциацией Чтения — «Homo legens» («Человек читающий»).


Быть русскими — наша судьба

Новая книга В.Н. Тростникова, выходящая в издательстве «Грифон», посвящена поискам ответов на судьбоносные вопросы истории России.За последнее десятилетие мы восстановили и частную собственность, и свободу слова, ликвидировали «железный занавес»… Но Запад по-прежнему относится к нам необъективно и недружественно.Ожесточаться не нужно. Русские – самый терпеливый народ в мире, и мы должны перетерпеть и несправедливое отношение к себе Запада. Ведь придёт час, когда Запад сам поймёт необходимость заимствовать у нас то, что он потерял, а мы сохранили, – Христа.Книга рассчитана на широкий круг читателей.


Вера и разум. Европейская философия и ее вклад в познание истины

Автор книги – известный религиозный философ – стремится показать, насколько простая, глубокая и ясная вещь «настоящая философия» – не заказанное напористой и самоуверенной протестантской цивилизацией её теоретическое оправдание, а честное искание Истины – и как нужна такая философия тем русским людям, которые по своей натуре нуждаются в укреплении веры доводами разума.В форме увлекательных бесед показаны не только высоты и бездны европейской философии, но и значительные достижения русской философской школы, уходящей своими корнями в православное мировосприятие.


Понимаем ли мы Евангелие?

Виктор Николаевич Тростников (род. 1928 г.), писатель, ученый, философ. Профессор Российского Православного Университета им. св. Иоанна Богослова. Автор более ста работ по различным разделам физики и математики, а также книг по научной апологетикеКнига содержит размышления автора об опыте осмысления Вечных Истин в свете современного знания.


Трактат о любви. Духовные таинства

Цель «Трактата о любви» В.Н. Тростникова – разобраться в значении одного-единственного, но часто употребляемого нами слова «любовь». Неужели этому надо посвящать целое исследование? Да, получается так, потому что слово-то одно, а значений у него много. Путь истинной любви обрисован увлекательно, понятно и близко молодому и просвещенному современному читателю, который убедится, что любовь в ее высшем проявлении есть любовь к Богу. Это книга – для всех любящих сердец.


Рекомендуем почитать
Квантовый оптоэлектронный генератор

В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.


Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.


Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.


Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.


Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.


Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.