Загадки и диковинки в мире чисел - [24]

Получается в точности предсказанная сумма, хотя отгадчик не мог знать, каково будет второе слагаемое. Отгадчик может предсказать также сумму 5 или 7 слагаемых, – но тогда он сам пишет два или три из них. Никакой подмены бумажки с результатом здесь заподозрить вы не можете, так как она до последнего момента хранится в вашем собственном кармане. Очевидно, отгадчик пользуется здесь каким-то неизвестным вам свойством чисел.

Так оно и есть. Отгадчик пользуется тем, что от прибавления, скажем, к 5-значному числу числа из пяти девяток (99999) первое число увеличивается на 1000000 – 1, т. е. впереди него появляется единица, а последняя цифра уменьшается на единицу. Например:

Это число – т. е. сумму написанного вами числа и 99999 – отгадчик и пишет на бумажке как будущий результат сложения. А чтобы результат оправдался, он, увидев ваше второе слагаемое, выбирает свое, третье слагаемое так, чтобы вместе со вторым оно составило 99999, т. е. вычитает каждую цифру второго слагаемого из 9. Эти операции вы легко можете теперь проследить на предыдущем примере, – а также и на следующих примерах

Легко усмотреть, что вы сильно затрудните отгадчика, если ваше второе слагаемое будет заключать больше цифр, чем первое: отгадчик не сможет написать слагаемого, которое уменьшит ваше второе число для оправдания предсказанного им слишком малого результата. Поэтому опытный отгадчик предупредительно ограничивает свободу вашего выбора этим условием.

Фокус выходит внушительнее, когда в придумывании слагаемых участвует несколько лиц. После первого же слагаемого – например, 437692, отгадчик уже предсказывает сумму всех пяти чисел, а именно записывает 2437690 (здесь будет добавлено дважды 999999, т. е. 2000000 – 2). Дальнейшее ясно из схемы:

Предугадать результат ряда действий

Большое впечатление производят те арифметические фокусы, в которых отгадчик угадывает результат действий над совершенно неизвестными ему числами. Подобных фокусов существует много, и все они основаны на возможности придумать такой ряд арифметических действий, результат которых не зависит от чисел, над которыми они производятся.

Вот один из фокусов этого рода.

Признак делимости на 9 всем известен: число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Припомнив, как выводится это правило, мы запасаемся еще и другим интересным положением: если от числа отнять сумму его цифр, то получается остаток, кратный 9 (положение это доказывается попутно при выводе признака делимости на 9). Точно так же мы получим число, кратное 9, если отнимем от данного числа другое, которое составлено из тех же цифр, но размещенных в другом порядке. Например: 457 – (4 + 5 + 7) = 441, т. е. числу, кратному 9; или: 7843–4738 = 3105, числу, кратному 9 [30] .

Уже и сказанным можно непосредственно воспользоваться для выполнения несложного фокуса. Предложите товарищу задумать любое число; затем, переставив его цифры в ином, каком угодно порядке, вычесть меньшее число из большего. В полученном результате ваш товарищ зачеркивает одну цифру – безразлично какую – и читает вслух оставшиеся цифры; а вы сразу же называете скрытую от вас, зачеркнутую сумму. Как вы отгадываете ее? Очень просто: вы знаете, что результат должен быть кратен 9, т. е. сумма его цифр должна без остатка делиться на 9. Быстро сложив в уме прочитанные вам цифры, вы легко можете сообразить, какой цифры не хватает, чтобы сумма была кратна 9. Например: задумано число 57924: после перестановки получено 92457.

 Вычитание дает результат 3?533, в котором знак вопроса стоит на месте зачеркнутой цифры. Сложив цифры 3 + 5 + 3 + 3, получаем 14. Нетрудно сообразить, что зачеркнута была цифра 4, потому что ближайшее большее число, кратное 9, есть 18, а 18-4 = 14.

Но тот же фокус можно обставить гораздо более эффектно, именно так, чтобы отгадать число, ничего не спрашивая у загадчика. Для этого проще всего предложить задумать трехзначное число с неодинаковыми крайними числами; затем, переставив цифры в обратном порядке, вычесть меньшее число из большего; в полученном результате переставить цифры и сложить оба числа. Окончательный результат всего этого ряда перестановок, вычитания и сложения вы называете изумленному загадчику без малейшего промедления или даже вручаете ему заранее в заклеенном конверте.

Секрет фокуса прост: какое бы число ни было задумано, в результате перечисленных действий всегда получается одно и то же: 1089. Вот несколько примеров:

(Последний пример показывает, как должен поступать загадчик, когда разность получается двузначная.)

Всматриваясь внимательно в ход выкладок, вы, без сомнения, поймете причину такого однообразия результатов. При вычитании неизбежно должна получаться в разряде десятков цифра 9, а по сторонам ее – цифры, сумма которых = 9. При последующем сложении должна поэтому получиться на первом справа месте цифра 9, далее, от 9 + 9, цифра 8 и единица в уме, которая при сложении с девятью сотнями дает 10. Отсюда – 1089.

Если вы станете повторять этот опыт несколько раз кряду, не внося в него никаких изменений, то секрет ваш, разумеется, будет раскрыт: загадчик сообразит, что постоянно получается одно и то же число 1089, хотя, быть может, и не отдаст себе отчета в причине такого постоянства. Вам необходимо поэтому видоизменять фокус. Сделать это нетрудно, так как 1089 = 33 × 33 = 11 × 11 × 3 × 3 = 121 × 9 = 99 × 11. Достаточно поэтому просить загадчика, когда вы доведете его до числа 1089, разделить этот результат на 33, или на 11, или на 121, или на 99, или на 9, – и тогда лишь назвать ему получающееся число. У вас, следовательно, в запасе имеется 5 изменений фокуса, – не говоря уже о том, что вы можете просить загадчика также умножить сумму на любое чисто, мысленно выполняя то же самое действие.