Я — математик. Дальнейшая жизнь вундеркинда - [4]

Понятие интеграла Лебега не относится к тем, которые легко можно объяснить неспециалисту, но, поскольку оно очень важно для дальнейшего содержания этой книги, я все же постараюсь если не изложить его во всей полноте, то хотя бы дать представление о том, что это такое. Каждому ясно, что значит измерить длину отрезка прямой линии или площадь, ограниченную окружностью или какой-нибудь другой гладкой замкнутой кривой. В тех случаях, однако, когда требуется как-то измерить длину (или площадь, или объем) множества точек, причудливым образом разбросанных по бесконечному числу отрезков, или каких-то кусочков плоскости или пространства, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, или тем более в случаях, когда наше множество точек является столь сложным, что даже приведенное выше довольно запутанное объяснение не описывает его строения, наглядные представления о длине, площади и объеме отказываются служить, и для точного определения соответствующих понятий приходится привлекать довольно абстрактные формальные математические рассуждения. Интеграл Лебега как раз и является инструментом, созданным для измерения сложных точечных множеств подобного рода.

Измерение объемов (или площадей, или длин) сложных областей неправильного строения совершенно необходимо для теории вероятностей и математической статистики; что касается меня, то уже в те далекие годы перед первой мировой войной мне казалось, что этим двум тесно связанным между собой разделам в дальнейшем предстоит завоевать многие области физики. Эти дисциплины были расположены на «ничьей земле» между физикой и математикой. Как раз в таких промежуточных областях, лежащих на стыке нескольких наук, я сделал свои самые крупные открытия; по-видимому, это было связано с тем, что работа такого рода наиболее соответствует главным особенностям моей натуры.

На самом деле теория вероятностей и математическая статистика в какой-то мере предвосхитили основные тенденции развития современной математики в том отношении, что они органически опираются на физические представления и в этом смысле непосредственно зависят от понятий меры и вероятности, разъясненных на физическом языке в статистической механике замечательного американского ученого Джозайи Уилларда Гиббса. В дальнейшем рассмотрение вопросов, связанных с развитием математических идей в направлении их применения к решению конкретных физических задач окружающего нас реального мира, будет основной темой настоящей книги.

При изучении теории интеграла Лебега последовательно переходят от меры (т. е. длины) изолированных интервалов к мере более сложных множеств, состоящих из бесконечной последовательности интервалов, и далее к мере еще более сложных множеств, которые (так же как и совокупность точек, не принадлежащих к нашему множеству) можно сколь угодно точно приблизить такой последовательностью интервалов. Аккуратное изложение этой теории требует знания высшей математики, но не содержит никаких особенно длинных математических преобразований или запутанных логических построений. Для нас здесь существенно только то, что Лебег сумел разумным образом распространить понятие длины (т. е. меры) со случая отдельного интервала на случай наиболее сложных точечных множеств, для которых это понятие оказывается еще имеющим смысл.

Харди умер несколько лет тому назад[10]; его более молодой коллега и неизменный товарищ по работе Дж. Е. Литлвуд, с которым мне тоже приходилось работать, еще жив. В то время, о котором я сейчас рассказываю, Литлвуд казался просто одним из многих блестящих молодых людей; позднее, познакомившись с ним поближе, я узнал, что он замечательный альпинист и еще более замечательный математик. Небольшого роста, плотный, мускулистый, как и пристало настоящему спортсмену, Литлвуд и в математике и в альпинизме отличался неистощимым запасом сил и безупречным мастерством.

За долгие годы творческого содружества роли Харди и Литлвуда определились вполне четко: оригинальность замыслов и ясность мысли шли от Харди, непреклонное упорство и неустанная энергия — от Литлвуда. Интересно, что из них двоих Литлвуд был гораздо менее заметен, чем Харди. Однажды произошел такой случай. Литлвуд приехал в Геттинген к Эдмунду Ландау. Увидев его, этот баловень судьбы и математики со свойственной ему непосредственностью воскликнул: «Так, значит, Вы на самом деле существуете! А я-то думал, что это псевдоним, которым Харди подписывает свои работы, когда считает, что они недостаточно хороши для него».

Немного позднее, в этом же академическом году, Ландау и Давид Гильберт стали моими учителями; это произошло весной 1914 года, когда я перед самым началом первой мировой войны перебрался в Геттинген. Ландау родился в богатой еврейской семье, где многие поколения мужчин занимались банковским делом. В детстве он тоже был чем-то вроде вундеркинда. Его воспитывали в обстановке изысканной роскоши, и он с раннего возраста привык пользоваться всеми благами жизни, которые можно получить за деньги. Этот миниатюрный человек с совершенно недисциплинированным умом и внешностью херувима — маленькие стоящие торчком усики не нарушали общего впечатления — всегда казался чуточку не на месте в этом грубом мире. Если кто-нибудь спрашивал, как отыскать в Геттингене его дом, он совершенно спокойно говорил: «Нет ничего проще. Это самый красивый дом в городе».