Вселенная Стивена Хокинга - [48]

Чтобы установить, как началась Вселенная, нужно знать законы, действовавшие в начале времен. Если классическая общая теория относительности верна, то, согласно доказанным Роджером Пенроузом и мною теоремам, начало времен – это точка с бесконечной плотностью и бесконечной кривизной пространства-времени. В такой точке никакие известные физические законы не действуют. Можно предположить, что в сингулярностях действовали новые законы, но чрезвычайно сложно даже сформулировать организующие принципы для этих патологических точек, тем более что мы не располагаем наблюдательными данными, которые могли бы указать нам путь. Однако теоремы о сингулярностях действительно утверждают, что гравитационное поле становится настолько сильным, что важно учитывать эффекты квантовой механики: классическая теория уже не годится для описания Вселенной. Посему для описания самых ранних этапов эволюции Вселенной необходима квантовая теория гравитации. Как будет видно дальше, квантовая теория гравитации предполагает, что обычные законы физики действуют везде и всегда, включая начало времен: совсем необязательно формулировать новые законы для сингулярностей, потому что в квантовой теории можно обойтись без сингулярностей.

Полная и непротиворечивая теория, которая бы объединяла квантовую механику и гравитацию, пока еще не создана. Но мы уже знаем некоторые свойства, которыми она должна обладать. В частности, это применимость предложенной Фейнманом формулировки квантовой теории через суммы по траекториям. Этот подход предполагает, что у частицы не одна-единственная траектория в пространстве-времени – как в случае классической, неквантовой теории: частица, напротив, движется в пространстве-времени всеми возможными путями, и каждый ее путь определяется парой чисел – амплитудой, то есть размахом волны, и положением волны в цикле (фазой). Вероятность, что частица пройдет через заданную точку, рассчитывается суммированием волн, соответствующих всем проходящим через эту точку траекториям. Правда, реальные попытки вычислить суммы связаны с серьезными техническими проблемами. Единственный способ обойти их состоит в следующем: нужно суммировать волны, связанные с траекториями частицы, не в действительном, реальном времени, которое ощущаем мы с вами, а в так называемом мнимом времени. Мнимое время может показаться чем-то фантастическим, но в действительности это строгое математическое понятие. Если умножить обычное (действительное) число само на себя, мы получим положительное число (например, 2 × 2 = 4 и –2 × –2 = 4). Однако есть особые числа (называемые мнимыми), которые при умножении на себя дают отрицательное число. (Так, число i, умноженное на себя, равно –1, число 2i, умноженное на себя, равно –4 и т. д.).

Действительные и мнимые числа можно вообразить себе следующим образом. Действительные числа представлены линией, идущей слева направо: нуль расположен в середине, отрицательные числа, вроде –1, –2 и т. д., – слева, а положительные числа, такие как 1, 2 и т. д., – справа. Мнимые числа представлены линией, идущей снизу вверх, и числа i, 2i и т. д. расположены выше середины, а числа – i, –2i и т. д. – ниже середины. Таким образом, мнимые числа можно рассматривать как действительные числа, повернутые на прямой угол.

Во избежание технических проблем с фейнмановским суммированием по траекториям следует использовать мнимое время, то есть прибегнуть при расчетах времени ко мнимым, а не действительным числам. При переходе к мнимому времени наблюдается интересный эффект – в пространстве-времени полностью стирается различие между временем и пространством. Пространство-время, в котором событиям соответствуют мнимые величины на оси времени, называется евклидовым – в честь древнегреческого математика Евклида, основателя геометрии двумерных поверхностей. То, что мы сейчас называем евклидовым пространством-временем, – это примерно то же самое, только измерений теперь не два, а четыре. В евклидовом пространстве-времени нет различия между направлением во времени и направлениями в пространстве. С другой стороны, в действительном пространстве-времени, где все события задаются обычными, действительными числами на оси времени, различие очевидно: временно́е направление во всех точках лежит внутри светового конуса, а пространственные направления – вне его. В любом случае, если речь идет об обычной квантовой механике, использование мнимого времени и евклидова пространства-времени можно рассматривать как математический трюк при расчетах в действительном пространстве-времени[37].

Второе свойство, которое, как мы полагаем, должно отличать искомую теорию, – согласованность с представлением Эйнштейна о гравитационном поле как искривленном пространстве-времени: частицы стремятся двигаться вдоль аналогов прямых траекторий в искривленном пространстве, но, поскольку пространство-время не плоское, траектории частиц оказываются искривленными, как если бы частицы находились под воздействием гравитационного поля. Если применить фейнмановский метод суммирования по траекториям к эйнштейновской теории тяготения, аналогом траектории частицы является все искривленное пространство-время, представляющее историю всей Вселенной. Чтобы справиться с техническими сложностями при суммировании по траекториям, эти искривленные пространственно-временные структуры следует рассматривать как евклидовы. То есть время является мнимым и не отличается от пространственных измерений. Для расчета вероятности обнаружения действительного пространства-времени, обладающего некоторым свойством, – например, имеющего одинаковый вид в любой точке и в любом направлении, – следует сложить волны, связанные со всеми траекториями, обладающими этим свойством.