Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - [108]

Свойства параллельного переноса определяют кривизну

Кривизна: расхождение геодезических и забор. Кривизна – это «мера неодинаковости» близких геодезических, измеряемая их относительным ускорением. Определение кривизны опирается на правила параллельного переноса, и точный ответ на вопрос «кривизна чего?» звучит как «кривизна заданных правил параллельного переноса». Чтобы выразить количественно, в каком темпе расходятся две соседние геодезические (рис. 6.31), мы выбираем место (точку) на одной из них, соединяем эту точку стрелкой

с другой геодезической и в той же выбранной точке проводим касательный вектор к первой геодезической. Относительное ускорение геодезических выражается как разность результатов параллельного переноса, выполняемого двумя способами, которые различаются порядком действий. В первом варианте сначала параллельно переносим касательный вектор вдоль стрелки

на вторую геодезическую, а затем то, что получится, переносим параллельно вдоль второй геодезической. (Стрелку

мы при этом проводим так, чтобы после переноса вдоль нее получился касательный вектор ко второй геодезической; это всегда можно сделать.) Во втором варианте сначала касательный вектор переносится параллельно вдоль первой геодезической, а уже затем получившийся вектор параллельно переносится на вторую. Разница между двумя результатами – относительное ускорение – и выражает схождение/расхождение геодезических. Эта математическая процедура выполняется для «очень близких» геодезических.

Рис. 6.32. Площадка, определяемая небольшими смещениями вдоль двух координатных линий. Показаны два различных пути, соединяющие начальную точку с противолежащей на координатной сетке

Кривизна – это набор «всех» таких расхождений, подходящим образом организованный по направлениям в пространстве-времени. Чтобы перечислить «все» расхождения указанного вида, надо перечислить все базовые способы направить геодезические и провести стрелку, которая их соединяет. Это удобнее сделать, решая эквивалентную, но чуть другую задачу о параллельном переносе двумя способами – задачу по постройке забора. В облюбованном уголке пространства-времени выберем каким-нибудь способом координатные линии; на рис. 6.32 показаны два семейства координатных линий. Вообще-то четырехмерное пространство-время полагается «расчертить» четырьмя такими семействами, но нам сейчас нужны именно два – любая пара из имеющихся четырех. Предпримем очень короткое путешествие: пройдем немного вдоль одной из координатных линий (назовем ее x), свернем на другую (скажем, y) и, пройдя по ней немного, отправимся назад по соседней линии x и, наконец, вернемся в исходную точку по линии y. Путешествие мысленное, и требуется оно только для того, чтобы обозначить «участок» в форме параллелограмма. Этот участок теперь и предлагается обнести забором из досок. Первую доску поставим в исходно выбранной точке и направим ее, скажем, вдоль координатной линии z (на рисунке не показана). Хороший забор – такой, который не «заваливается», а это означает, что следующую доску надо поставить параллельно первой, еще следующую – тоже параллельно и т. д. В дело оказывается вовлечен параллельный перенос! Для ускорения строительства работу поручают двум бригадам: каждая «привязывается» к самой первой доске, а затем первая продвигается сначала вдоль координатной линии x, а потом по координатной линии y, а вторая бригада идет сначала вдоль y, а потом вдоль x. В искривленном пространстве-времени забор «не сойдется»: первая и вторая бригады не согласятся по поводу того, как должна стоять финальная доска в месте их встречи. Это несогласие и определяется кривизной. Как всегда, стороны «участка» считаются малыми в математически точно определенном смысле. Полученная кривизна тогда относится к точке, откуда мы начали построение. (Чтобы узнать кривизну в какой-то другой точке, надо повторить все действия начиная оттуда.)

Чтобы выразить кривизну, надо сказать, как именно следует повернуть доску, которую ставит вторая бригада, чтобы она совпала с доской, которую ставит первая. Сказать это нужно, конечно, не для одного конкретного забора, который мы велели строить, направив самую первую доску вдоль линии z, а для любого забора – такого, первая доска которого смотрит в любом направлении. Базовых направлений четыре, по числу измерений пространства-времени[123]. А сам участок, обносимый забором, можно построить не только на малых смещениях по x и y, но и на малых смещениях вдоль любой пары направлений. Итак: два направления задают участок, а третье определяет ориентацию первой доски. Каждое направление – это одна из осей (x, y, z, t). Все эти возможности организуются в таблицу 4 × 4 × 4; в ней определенно встречаются случаи, когда площадки на самом деле нет (в качестве первого направления выбран, скажем, x, но в качестве второго – тоже x), но нам удобно в таких случаях не беспокоиться отдельно, а заменять все данные нулями. В остальных случаях, когда с площадкой все в порядке, мы вносим в таблицу данные, определяющие «доводку» финальной доски второй бригады, – и это