Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [4]

Получив степень доктора, Гильберт задумался о том, чтобы устроиться на должность приват-доцента, которая позволила бы ему преподавать в университете (пусть даже жалованье не было фиксированным и складывалось в зависимости от количества студентов). Для этого требовалось внести какой-нибудь оригинальный вклад в науку. С этой целью Гильберт отправился на встречу с Феликсом Клейном (1849-1925), одним из знаменитых математиков того времени. Годы спустя Клейн говорил, что сразу же понял: за этим юношей — будущее математики. По его совету Гильберт поехал в Париж, где познакомился с Анри Пуанкаре (1854-1912). Француз был на восемь лет старше Гильберта, но уже состоялся как ученый. Он считался главным представителем французской математики, которая надеялась обойти немцев. В результате Пуанкаре и Гильберт не нашли общий язык, со временем они даже стали открыто соперничать. Тут крылась конкуренция за главенствование в математике будущего (отношения Пуанкаре и Клейна также не были хорошими: у последнего это противостояние даже вылилось в депрессию). На обратном пути Гильберт задержался в Гёттингенском университете и навестил недавно обосновавшегося там Клейна. Тот познакомил его с Паулем Горданом (1837-1912), одним из главных экспертов по теории инвариантов — области, в которой Гильберт добился своего первого большого успеха.

ОТ АЛГЕБРЫ К ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Теория инвариантов представляла собой ответвление алгебры XIX века и рассматривала, какие величины не изменяются (остаются инвариантными), когда мы преобразуем один многочлен в другой в соответствии с определенными правилами. Одна из самых любопытных проблем получила название проблемы Гордана. В 1868 году Гильберт ошарашил современников, предложив революционное решение задачи, которое король теории инвариантов Гордан назвал «теологическим». Гильберту удалось сделать то, к чему уже несколько лет стремились все эксперты по инвариантам: доказать так называемую основную теорему теории инвариантов, в которой утверждается, что любая система инвариантов образована конечным образом (проще говоря, что любой инвариант системы может быть представлен в виде сочетания небольшого количества инвариантов, образующих базис). Эту задачу не назовешь пустяковой.

Однако нас интересует не ее содержание, а форма ее доказательства Гильбертом, поскольку это поможет представить путь развития его исследовательской карьеры. Как и в других областях математики, Гильберт разработал множество элементов, составивших новый подход. В данном случае он структурный алгебраический, сосредоточенный на структурах математических объектов в большей степени, чем на собственно математических объектах, а на группах, идеалах, кольцах и телах (алгебраических структурах) — в большей степени, чем на самих числах или конкретных многочленах, которые они содержат. Не осознавая этого, Гильберт готовил абстрактную алгебру XX века и мимоходом утвердил новый математический метод, знаменосцем которого стал позже.

Подход Гильберта разительно отличался от традиционного. Вместо того чтобы открыто искать решение проблемы, он доказал: проблема не может не иметь решения. Его доказательство было не конструктивным, а экзистенциальным. Он не предлагал решения напрямую («вот базис инвариантов»), а только доказывал, что оно обязательно должно быть («если бы не было базиса инвариантов, мы бы пришли к противоречию»). Следовательно, доказательство основной теоремы осуществлялось путем доведения до абсурда. Эта аргументация не была единодушно принята математическим сообществом.

Кронекер — одна из главных фигур немецкой математики того времени — высказался в этом отношении довольно резко. По слухам, подход Гильберта многим показался «зловещим». Для Кронекера доказательство существования обязательно означало построение того объекта, существование которого требовалось доказать. В данном случае это построение базиса инвариантов, которое, по утверждению Гильберта, существует. Он не принимал аргументов, что отсутствие существования базиса предполагает противоречие, следовательно, данный базис обязательно должен существовать, хотя его вычисление неосуществимо.

КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Чтобы понять разницу, рассмотрим пример. Если вопрос заключается в том, имеет ли уравнение х² - 1 = 0 решение, у нас есть два варианта. Первый — найти решение с помощью вычислений и алгебраических манипуляций: х = 1 и х = -1. Второй — попытаться ответить косвенно: задействовав некую теорему, показать, что уравнение имеет решение, хотя мы не можем его найти. Естественно, второй путь оказывается эффективнее, когда математик сталкивается с намного более сложными проблемами, чем решение простого уравнения второй степени. Очень часто в уравнениях высшей степени легче доказать существование решения, чем найти его.

Путь, известный со времен Античности

Эта характеристика является общей для многих математических проблем. Евклид доказал, что существует бесконечное количество простых чисел без необходимости перечислять их все. Он выстраивал свое рассуждение путем доведения до абсурда. Первый шаг в таком доказательстве состоит в том, чтобы отрицать высказывание, которое нужно доказать. Чтобы доказать, что существует бесконечное количество простых чисел, Евклид предположил, что их число конечное: р