Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - [35]

Баланс заключался в том, что в лучшем случае Расселу и Уайтхеду удалось свести математику к виду мегалогики, раю для логиков. Логистический тезис является либо ложным (если логика не включает в себя теорию классов — то, что называется теорией множеств), либо тривиальным (если включает ее). На сегодняшний день некоторые логики пытаются возродить этот тезис, чтобы перевести математику в подходящую логику второго порядка (поскольку логики первого порядка оказалось недостаточно). Но, как говорили многие математики, логика второго порядка — это всего лишь замаскированная математика множеств. Так как в логике второго порядка допустимо говорить не только об объектах, но и о свойствах, можно определить множество понятий, типичных для теории множеств. Количественно оценивать свойства — в конечном итоге все равно что количественно оценивать множества, множество объектов, выполняющих свойство. Следовательно, речь идет о логике, лежащей в основе собственно теории множеств. Ее наибольшая выразительная сила, позволяющая охарактеризовать бесконечность или формализовать принцип индукции в одной-единственной аксиоме (вместо схемы аксиом, заключающей в себе бесконечности), — это обоюдоострое оружие. Мы находимся там же, где и были: если логика включает в себя теорию множеств, то логистический тезис истинный, но тривиальный; если логика его не включает, он радикально ложный.

РОЖДЕНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Логики шли на невероятные хитрости, чтобы решить проблему парадоксов. Но какое решение давали математики? Если логики хотели логифицироватъ математику, то математики хотели омножествитъ ее. Омножествление математики началось издалека. Абстрактная теория множеств была создана Кантором, но связанный с множеством подход в математике предшествовал ей. Он присутствовал у Римана и в основном у Дедекинда. Риман предложил понятие многообразия в значении, граничащем со значением множества, в качестве основания всей чистой математики. И Дедекинд выдвинул подход множеств к алгебре, введя такие понятия, как группа, тело и идеал (только понятие кольца не поддалось ему и было введено позже Гильбертом).

Героическая эпоха теории множеств начинается в 1872 году. Тогда, опубликовав свои построения действительных чисел, Дедекинд и Кантор приступили к бурному личному взаимодействию. В 1874 году Кантор доказал, что существует два типа бесконечности: счетная (как множество натуральных чисел) и несчетная (как действительные числа, то есть как континуум). Он заявил, что множество алгебраических чисел счетное, и доказал это на основе метода, который Дедекинд передал ему в письме, хотя и не признал здесь заслуги последнего (этот конфликт, скорее всего, и стал причиной их разрыва). В 1879 году Кантор представил понятие кардинального числа множества, которое обобщает понятие числа элементов множества в области бесконечных множеств. Проверка того, обладают ли два конечных множества одним и тем же числом элементов, состоит в одновременном удалении по одному элементу из каждого из них столько раз, сколько возможно. Если оба множества заканчиваются одновременно, мы точно знаем, что у них одно и то же число элементов, или кардинальное число. Так как эта идея не предполагает счета, она распространяется на бесконечные множества: о множествах A и В говорят, что они имеют одно и то же кардинальное число, и это записывается как |A| = |B| если между ними можно установить биекцию, то есть соответствие один к одному.

ДИАГОНАЛЬНЫЙ АРГУМЕНТ КАНТОРА

Одним из великих открытий Георга Кантора стали несчетные множества, для которых невозможно провести биекцию с натуральными числами.

Одно из них — это континуум. И если целые и рациональные числа счетные, то действительные числа такими не являются. Нельзя связать их попарно с натуральными числами, их нельзя пронумеровать, поставить в список одно за другим. Возьмем числовую прямую и рассмотрим отрезок от 0 до 1. Выразим все входящие в этот отрезок числа в двоичном коде, то есть с помощью последовательностей 0 и 1. Например: 101001000... (опустив 0 и запятую, отделяющую десятичную дробь, которые должны предшествовать выражению). Докажем, что предположение о том, что это счетное множество, приводит к противоречию. Действительно, если бы это было так, мы могли бы записать все его элементы в списке, подобном следующему:

1.° → 0100...

2.° → 0110...

3.° → 1101...

...       ...

Теперь обратим внимание на элементы главной диагонали, они подчеркнуты. Построим элемент, который несмотря на то, что является последовательностью 0 и 1, не входит в список. Для этого образуем последовательность, состоящую из следующих чисел: так как первый выделенный член был 0, запишем 1; так как второй был 1, запишем 0; так как третий был 0, запишем 1; и так далее. Итоговый элемент начинается с 101... и не совпадает ни с одним из элементов в списке. Это не может быть первая последовательность, поскольку первый член отличается, не вторая, потому что мы изменили второй член, и не третья, и так далее. Это противоречит предположению, что речь идет о счетном множестве, которое, следовательно, может быть выражено в виде списка. Использованный метод доказательства получил название диагонализации и повлиял на последующие значимые доказательства в истории оснований математики.