В поисках бесконечности - [54]
Каждый из споривших давал свой ответ на возникшие вопросы, не соглашаясь с мнением других. Споры шли весьма оживленно, поскольку, по словам Гильберта, с давних пор никакой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном: бесконечное действовало на разум столь побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно понятие не нуждалось, по мнению Гильберта, так сильно в разъяснении, как бесконечность.
Спор между математиками становился временами очень острым — ведь спорили сами боги математического Олимпа. Чтобы дать читателю представление о точках зрения разных ученых, приведем яркую цитату из книги Н. Н. Лузина "Современное состояние теории функций действительного переменного", где он использовал введенный когда-то Максвеллом образ "демона", который открывает и закрывает перед молекулами отверстия и этим путем отделяет быстрые молекулы от медленных, нагревая газ в одной части сосуда и охлаждая его в другой. Лузин писал: "Если анализировать взгляды творцов современной теории функций, легко подметить, что каждый из них в процессе своей работы исходит из определенной концепции возможного и допустимого, за пределами которого кончается область математики и начинается область, лежащая, по выражению Бореля, вне математики... Если, следуя примеру Максвелла, приписать область возможного и исполнимого того или иного автора соответствующему воображаемому существу, то получится следующая схема:
1 "Демон" Брауэра. Его область есть область целого[104] конечного и притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела. За этой областью все лежит "вне математики".
2 "Демон" Бэра. Его область есть просто область целого конечного без указания верхней конечной границы. Бесконечное — это лишь facon de parler[105] и находится "вне математики".
3 "Демон" Бореля. Его область есть область счетной бесконечности. Всякое несчетное множество — "вне математики".
4 "Демон" Лебега. Его область есть область мощности континуума: всякая операция, требующая континуум простых шагов, доступна этому "демону"...
5 "Демон" Цермело. Его поле операций — всякие мощности; в частности, всякое множество "демон" Цермело может сделать вполне упорядоченным".
Разница в силе "демонов" Бореля и Лебега видна из следующего примера. Пусть надо узнать, выполняется ли для всех элементов множества X неравенство x≤a. Если множество X счетно, то с решением проблемы справится "демон" Бореля, так как придется рассмотреть вопрос о выполнении счетного множества неравенств x>k≤a, а это ему по силам. Если же X несчетно, то "демон" Бореля не сумеет ответить на поставленный вопрос, а для "демона" Лебега задача окажется доступной — ведь он может выполнить и континуум операций.
Точка зрения самого Лузина по дискутируемым проблемам не была однозначной. Чаще всего он стоял на позициях Бореля, указывая, что "понятие несчетной бесконечности является чисто отрицательным понятием, не имеющим никакой объективной реальности; это понятие, вызванное лишь человеческой способностью создавать доказательства "от противного", не соответствует никакой достижимой реальности...". Однако иногда он склонялся больше к точке зрения Бэра, утверждая, что мы не имеем достаточно ясной концепции актуальной бесконечности, хотя это понятие и может быть определено в терминах абстрактной логики. Польскому же математику Куратовскому[106] он писал: "Несмотря ни на что, я не могу рассматривать как данное множество целых положительных чисел, потому что самая идея актуальной бесконечности мне кажется мало естественной, чтобы рассматривать ее в себе". И далее: "Фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли последовательность целых положительных чисел вполне объективной. Кажется, что она почти объективна и что имеются следы несомненной субъективности, такой, что нельзя говорить о последовательности целых положительных чисел всегда, во всех случаях, в одном и том же смысле". Он считал, однако, что еще преждевременно ставить жгучую проблему о единственности последовательности целых положительных чисел и говорить о конечных числах, недостижимых, если отправляться от 1.
Прямой противоположностью взглядам Лузина на сущность математических проблем является точка зрения Николя Бурбаки[107]. Он утверждает существование всего непротиворечивого и потому стоит на позициях Цермело, допуская любые мощности, признавая без ограничений аксиому выбора и все ее следствия, включая парадокс о разбиении сферы и утверждение о полной упорядочиваемости континуума. Вопрос же, приложима ли такая математика к познанию реального мира, его, кажется, совсем не интересует.
Всегда допускал работу с множествами произвольно высокой мощности и П. С. Александров. Например, он обобщил понятие размерности на очень широкий класс пространств, не удовлетворяющих никаким условиям счетности, развил в таких пространствах геометрию и т. д. Таким образом, "демон" Цермело позволяет, с одной стороны, получать чрезвычайно красивые результаты, а с другой — ведет к утверждениям, наглядный смысл которых невозможно понять.
Человечеству в ХХ веке пришлось пережить многие войны, национальные конфликты и революции, сопровождавшиеся кровавыми расправами одних сторон над другими. Характер и масштаб их был разный, но в основе своей они нередко несли расовые противоречия.С тех пор научное сообщество в своем большинстве наложило гласные и негласные запреты не только на явно расистские учения, как, например, евгенику, но и на вполне научные области знания — среди них генетические, биологические, антропологические направления, связанные с развитием и особенностями человеческих рас.
![[Не]правда о нашем теле. Заблуждения, в которые мы верим](/storage/book-covers/28/286d3f6b7a977cd59136911f7f4c20b3b237d5d0.jpg)
Знать правду весьма полезно, особенно о своей жизни и своем здоровье. Это экономит силы, время и деньги, которых можно лишиться, гоняясь за химерами. Мифы о здоровье окружают нас везде, и их своевременное развенчание — залог полноценной жизни! В этой книге Андрей Сазонов собрал тридцать распространенных медицинских мифов, ложных утверждений, о который все не только слышали, но и успешно претворяли в жизнь. Какие продукты сжигают жиры, и есть ли смысл в перекусах? Вода обычная и минеральная — нужно ли нам выпивать 8 стаканов ежедневно? Седина от стресса и аллергия от тополиного пуха — где правда? Каждый развенчанный миф — шаг к осознанию того, как действительно нужно следить за своим здоровьем. Давайте жить качественно! Лечится тем, что помогает, покупать то, что нужно, делать то, что идет нам на пользу. Ударим по мифам научным подходом!
В русской истории 14 лет, прошедших с 1598 по 1612 год, называют «разрухою» или «Смутным временем». «Смятения» Русской земли, или «Московская трагедия», как писали о ней иностранцы, началась с прекращением династии Рюриковичей, т. е. после кончины Царя Фёдора Ивановича, и кончилась, когда земские чины, собравшиеся в Москве в начале 1613 г., избрали на престол в Цари Михаила Фёдоровича, родоначальника новой династии Дома Романовых.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал для молодежи.
Под именем лорда Кельвина вошел в историю британский ученый XIX века Уильям Томсон, один из создателей экспериментальной физики. Больше всего он запомнился своими работами по классической термодинамике, особенно касающимися введения в науку абсолютной температурной шкалы. Лорд Кельвин сделал вклад в развитие таких областей, как астрофизика, механика жидкостей и инженерное дело, он участвовал в прокладывании первого подводного телеграфного кабеля, связавшего Европу и Америку, а также в научных и философских дебатах об определении возраста Земли.
Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.
Книга посвящена фундаментальным и прикладным аспектам проблем питания и ассимиляции пищи. В рамках новой междисциплинарной науки трофологии сформулированы основные постулаты теории адекватного питания, в которую классическая теория сбалансированного питания входит как важная составная часть. Охарактеризованы основные потоки, поступающие из желудочно-кишечного тракта во внутреннюю среду организма, эндоэкология и ее главные физиологические функции, роль кишечной гормональной системы в жизнедеятельности организма, общие эффекты этой системы и ее роль в развитии специфического динамического действия пищи.
Книга посвящена концепции естественных технологий живых систем на различных уровнях организации последних и изложению доказательств, позволяющих преодолеть противопоставление естествознания и технологии. Эта концепция обосновывается на примере наиболее важных процессов в живых системах, их эволюции и происхождения. Охарактеризованы некоторые закономерности, которые могут быть интерпретированы как общие для естественных технологий живой природы и производственных технологий. Показано, что такие подходы плодотворны для понимания биологии в целом, процессов, протекающих в живых системах различной сложности, взаимодействий естественных и производственных технологий, в частности в медицине, экологии, питании и т.д.
В книге в увлекательной форме рассказывается об открытии континентов в разные исторические эпохи. Восстанавливаются маршруты древних мореходов. Рассматриваются любопытные гипотезы и научные факты, свидетельствующие о неослабевающем интересе всех исследователей к истории развития и познания Мира. Автор, океанолог по профессии, ведущий научный сотрудник Института океанологии Российской академии наук, участник многочисленных экспедиций в Мировом океане. Он свой опыт и знания старается передать читателям этой книги.