В поисках бесконечности - [19]

Разумеется, созывать каждый раз консилиум экспертов для определения "коэффициентов принадлежности" вряд ли целесообразно. Чаще коэффициенты вводят иным путем, например на основе статистических данных. Но после того, как они выбраны, с их помощью можно получить коэффициенты принадлежности и для других множеств.

На основе понятия нечеткого множества были введены нечеткие отношения и нечеткие алгоритмы. С нечеткими алгоритмами люди имели дело задолго до того, как их определил Л. Заде. В любой поваренной книге найдутся алгоритмы, содержащие советы вида: "Сливки сперва особо взбить, чтобы были весьма густы, потом всыпать в них муку и еще все вместе венчиком хорошенько взбить...". И хотя авторы этих книг не определяли точно, когда сливки надо считать весьма густыми и какое взбивание венчиком надо считать достаточным, надо думать, что блюда по этим рецептам получались совсем неплохими. Любопытно, что теперь нечеткие алгоритмы начали встречаться и в таких разделах науки, как вычислительная математика. Однако только будущее покажет, был ли удачен предложенный Заде метод введения нечетких множеств и какая из него получится польза.

Бесконечные множества.

Все то, что говорилось о множествах выше, относилось в основном к множествам, содержащим конечное число элементов. На протяжении тысячелетий изучение бесконечных множеств было изгнано из науки авторитетом Аристотеля. Впрочем, преподававший в Оксфордском университете в XIII в. схоласт Роберт Гроссетет (он был, между прочим, учителем знаменитого Роджера Бэкона) считал, что актуально-бесконечное — это определенное число, которое хотя и не познаваемо для нас, но существует актуально. Более того, Гроссетет считал возможным сравнивать друг с другом две бесконечности. Он полагал, что больше моментов в большем времени, чем в меньшем, и больше точек в большей величине, чем в меньшей. Число "точек в отрезке длиной в локоть" он считал истинной мерой этого отрезка. Тем самым потенциальной бесконечности Аристотеля снова была противопоставлена актуальная бесконечность единиц.

Использование актуальной бесконечности в математике исподволь начинается в XVIII в. (бесконечные ряды фактически рассматривались как суммы бесконечного множества слагаемых), а в XIX в. Гаусс, столь резко возражавший против использования актуальной бесконечности в математике, фактически использует ее в своих теоретико-числовых исследованиях. В более явном виде использование этих же понятий встречается в работах последователей Гаусса немецких математиков Л. Дирихле[44] и Р. Дедекинда[45].

Однако систематически свойства бесконечных множеств почти не изучались. Лишь в 1851 г. была посмертно опубликована книга чешского математика и философа Б. Больцано[46] "Парадоксы бесконечности", в которой он сделал первую попытку исследовать свойства актуальной бесконечности. В этой книге были предвосхищены многие понятия теории бесконечных множеств, однако они не получили еще той точности и ясности, которая была придана им через два десятилетия в работах Г. Кантора.

Занимаясь теорией бесконечных рядов, составленных из тригонометрических функций, Кантор пришел к необходимости разобраться в том, какие множества можно составлять из точек прямой линии (эти множества называют теперь точечными). В частности, его заинтересовал вопрос, всегда ли можно перенумеровать все точки таких множеств. Исследуя его, он обнаружил, что свойства конечных и бесконечных множеств совершенно непохожи друг на друга: многие операции, невозможные для конечных множеств, без труда выполняются для бесконечных. Попробуйте, например, поместить в гостиницу, каждый номер которой занят одним постояльцем, еще жильцов, да так, чтобы в каждом номере снова жил лишь один человек. Не получается? Так это только потому, что число номеров в гостинице конечно! А если бы в ней было бесконечно много номеров?.. Но такие гостиницы могут встретиться разве что в рассказах межзвездного скитальца Иона Тихого. Итак, предоставим ему слово.

Необыкновенная гостиница или тысяча первое путешествие Иона Тихого.

Домой я вернулся довольно поздно — вечер воспоминаний в клубе "Туманность Андромеды" затянулся далеко за полночь. Всю ночь меня мучили кошмары. То мне снилось, что меня проглотил огромный курдль, то грезилось, что я снова лечу на планету Дурдиотов и не знаю, как избежать тамошней страшной машины, превращающей людей в шестиугольники, то... Неожиданный телефонный звонок вернул меня в мир реальности. Звонил старый друг и коллега по межзвездным странствиям профессор Тарантога.

"Срочное задание, дорогой Йон,- услышал я.- Астрономы обнаружили в космосе какой-то странный объект — от одной галактики до другой тянется таинственная черная линия. Никто не понимает, в чем дело. Самые лучшие радиотелескопы, нейтриноскопы и гравитоскопы пе могут помочь в раскрытии тайны. Осталась надежда лишь на тебя. Срочно вылетай в направлении туманности АЦД-1587".

На другой день я получил из ремонта свою старую фотонную ракету, установил на нее ускоритель времени и электронного робота, знавшего все языки космоса и все рассказы о звездопроходцах (это гарантировало от скуки), и вылетел по заданию.