В поисках бесконечности - [16]

Всем им приходилось работать с совокупностями некоторых объектов, изучая их как нечто целое, объединенное в один коллектив. Математик сказал бы, что они имели дело со множествами элементов, а не с отдельными элементами. К сожалению, он не смог бы ответить на вопрос, что же такое множество. Дело в том, что математики привыкли, определяя новое понятие, сводить его к другим, уже известным ранее. Но откуда-то надо начинать, а понятия более первичного, чем множество, в математике нет.

Это и неудивительно, если вспомнить, что почти любая наука начинается с классификации, с объединения в одно целое похожих объектов или понятий и с разграничения непохожих вещей. До того, как возникла биология, люди должны были научиться отличать друг от друга волков и шакалов, зайцев и кроликов. А до создания минералогии надо было много столетий собирать камни и отличать друг от друга граниты и кремни, малахиты и яшмы. Но каждая классификация с точки зрения математики сводится к образованию множеств по некоторым признакам. Поэтому и нельзя свести понятие множества к более простым. Мы ограничимся лишь тем, что приведем еще несколько примеров множеств.

Можно говорить, например, о множестве стульев в данной комнате, о множестве всех протонов на Юпитере, о множестве слов, встречающихся в произведениях А. С. Пушкина, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех натуральных чисел, о множестве всех точек на плоскости, о множестве всех сфер в пространстве и т. д.

Объекты или понятия, из которых составлено данное множество, называются его элементами. Приведенные выше примеры показывают, что этими элементами могут быть как реальные объекты (стулья, протоны, рыбы и т. д.), так и абстрактные понятия (числа, точки, геометрические фигуры и т. д.). В качестве элементов множеств могут выступать даже такие создания человеческой фантазии, как мифологические герои, привидения и боги всевозможных религий.

Если множество состоит из реальных объектов, оно, как правило, конечно, то есть содержит конечное число элементов. Конечные множества обычно задают списком их элементов. Например, множество дней недели задается списком

{понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.

Разумеется, конечные множества, содержащие слишком много элементов, задать списком невозможно — вряд ли кому-нибудь удастся "переписать" всех рыб в океане или все песчинки на берегу моря.

Конечными могут быть и множества, состоящие из абстрактных понятий или мифологических героев и богов (например, конечны множества четных простых чисел, олимпийских богов и т. д.). А множество натуральных чисел бесконечно, так же как и множество точек на плоскости.

Фигурные скобки, в которые заключен список элементов множества, символизируют объединение этих элементов в одно целое. При этом принадлежность элемента а множеству А записывают с помощью знака ∈: а∈А. Если нее элемент а не принадлежит множеству А, то пишут, что а∈А. Например, если обозначить буквой N множество натуральных чисел, то 6∈N, а ³/₄∉N и крокодил ∉N. Если А — множество всех месяцев в году, то май ∈A, а среда ∉A.

Итак, говоря о множестве, мы объединяем некоторые элементы или понятия в одно целое и в дальнейшем оперируем этим целостным понятием. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор[39] выразил это так: "Множество есть многое, мыслимое нами как единое".

Для того чтобы наглядно представить себе понятие множества, один из основателей русской теоретико-множественной школы академик Н. Н. Лузин[40] предложил следующий образ. Представим прозрачную непроницаемую оболочку, нечто вроде плотно закрытого прозрачного мешка. Предположим, что внутри этой оболочки заключены все элементы данного множества А и что, кроме них, никаких элементов там не находится. Эта оболочка с находящимися внутри нее предметами и может служить образом множества А, состоящего из этих элементов. Сама же прозрачная оболочка, охватывающая все элементы множества, и только их, изображает тот акт объединения элементов, в результате которого создается множество А.

Множества и свойства объектов.

Ни бесконечные множества, ни конечные множества, содержащие очень много элементов, невозможно задать с помощью списков. Чтобы определить такое множество, прибегают к указанию свойства, присущего всем его элементам, но не присущего ни одному элементу, не принадлежащему определяемому множеству. Это свойство элементов множества называется для него характеристическим.

Например, для множества простых чисел характеристическим является то, что все его элементы — натуральные числа, имеющие ровно два делителя. Пользуясь этим свойством, можно сразу сказать, что ни число 1, ни число 18, ни, наконец, число ²/₃ не являются простыми. Число 1 потому, что оно имеет лишь один, а не два различных делителя, число 18 потому, что у него шесть различных делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18, а число ²/₃ потому, что оно не является натуральным. Число же 7 является простым, так как оно имеет ровно два делителя: числа 1 и 7.

В древности философы усиленно искали характеристические свойства различных множеств. Например, знаменитому древнегреческому философу Платону приписывали следующее определение: "Человеком называется двуногое живое существо, лишенное перьев". Рассказывают, что его современник Диоген ощипал петуха и сказал: "Вот человек Платона". Пришлось Платону добавить к своему определению слова "и с широкими ногтями". Теперь уже получилось характеристическое свойство для множества людей, которое, впрочем, никак не раскрывало истинную сущность понятия