Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика» - [45]

Подбор оптимального шага

Данный раздел посвящен описанию макрокоманды Оптимизация_Шага. Эта макрокоманда часто используется в описании процедур обучения и не столь очевидна как другие макрокоманды. Поэтому ее текст приведен на рис. 3. Идея подбора оптимального шага состоит в том, что при наличии направления в котором производится спуск (изменение параметров) задача многомерной оптимизации в пространстве параметров сводится к одномерной оптимизации — подбору шага. Пусть заданы начальный шаг (Ш2) и направление спуска (антиградиент или случайное) (Н). Тогда вычислим величину О1 — оценку в текущей точке пространства параметров. Изменив параметры на вектор направления, умноженный на величину пробного шага, вычислим величину оценки в новой точке — О2. Если О2 оказалось меньше либо равно О1, то увеличиваем шаг и снова вычисляем оценку. Продолжаем эту процедуру до тех пор, пока не получится оценка, большая предыдущей. Зная три последних значения величины шага и оценки, используем квадратичную оптимизацию — по трем точкам построим параболу и следующий шаг сделаем в вершину параболы. После нескольких шагов квадратичной оптимизации получаем приближенное значение оптимального шага.

1.  Создать_вектор В
2.  Сохранить_вектор В
3.  Вычислить_оценку О1
4.  Ш1=0
5.  Модификация_вектора Н, 1, Ш2
6.  Вычислить_оценку О2
7.  Если О1<О2 то переход к шагу 15
8.  Ш3=Ш2*3
9.  Установить_параметры В
10. Модификация_вектора Н, 1, Ш3
11. Вычислить_оценку О3
12. Если О3>О2 то переход к шагу 21
13. О1=О2 О2=О3 Ш1=Ш2 Ш2=ШЗ
14. Переход к шагу 3
15. ШЗ=Ш2 03=02
16. Ш2=ШЗ/3
17. Установить_параметры В
18. Модификация_вектора Н, 1, Ш2
19. Вычислить_оценку О3
20. Если О2>=О1 то переход к шагу 15
21. Число_парабол=0
22. Ш=((ШЗШЗ-Ш2Ш2)О1+(Ш1Ш1-ШЗШЗ)О2+(Ш2Ш2-Ш1Ш )О3)/(2((ШЗ-Ш2)О1+(Ш1-Ш3)О2 +(Ш2-Ш )О3))
23. Установить_параметры В
24. Модификация_вектора Н, 1, Ш
25. Вычислить_оценку О
26. Если Ш>Ш2 то переход к шагу 32
27. Если О>О2 то переход к шагу 30
28. ШЗ=Ш2 О3=О2 О2=О Ш2=Ш
29. Переход к шагу 36
30. Ш1=Ш О1=О
31. Переход к шагу 36
32. Если О>О2 то переход к шагу 35
33. ШЗ=Ш2 О3=О2 О2=О Ш2=Ш
34. Переход к шагу 36
35. Ш1=Ш О1=О
36. Чиспо_парабол=Число_парабол+1
37. Если Число_парабоп<Максимальное_Число_Парабол то переход к шагу 22
33. Установить_параметры В
39. Модификация_вектора Н, 1, Ш 2
40. Освободить_вектор В

Рис. 3. Алгоритм оптимизации шага

Если после первого пробного шага получилось О2 большее О1, то уменьшаем шаг до тех пор, пока не получим оценку, меньше чем О1. После этого производим квадратичную оптимизацию.

Метод случайного поиска

Этот метод похож на метод случайной стрельбы с уменьшением радиуса, однако в его основе лежит другая идея — сгенерируем случайный вектор и будем использовать его вместо градиента. Этот метод использует одномерную оптимизацию — подбор шага. Одномерная оптимизация описана в разделе «Одномерная оптимизация». Процедура случайного поиска приведена на рис. 4. В этом методе есть два параметра, задаваемых пользователем.

1.  Создать_вектор Н
2.  Число_Смен_Радиуса=1
3.  Попытка=0
4.  Радиус=1/Число_Смен_Радиуса
5.  Случайный_вектор Н
6.  Оптимизация шага Н Радиус
7.  Попытка=Попытка+1
8.  Если Радиус=0 то Попытка=0
9.  Если Попытка<=Число_попыток то переход к шагу 4
10. Число_Смен_Радиуса= Число_Смен_Радиуса+1
11. Радиус=1/Число_Смен_Радиуса
12. Если Радиус>= Минимальный_радиус то переход к шагу 3
13. Освободить_вектор Н

Рис. 4. Алгоритм метода случайного поиска

Число_попыток — число неудачных пробных генераций вектора при одном радиусе.

Минимальный_радиус — минимальное значение радиуса, при котором продолжает работать алгоритм.

Идея этого метода состоит в следующем. Зададимся начальным состоянием вектора параметров. Новый вектор параметров будем искать как сумму начального и случайного, умноженного на радиус, векторов. Если после Число_попыток случайных генераций не произошло уменьшения оценки, то уменьшаем радиус. Если произошло уменьшение оценки, то полученный вектор объявляем начальным и продолжаем процедуру с тем же шагом. Важно, чтобы последовательность уменьшающихся радиусов образовывала расходящийся ряд. Примером такой последовательности может служить использованный в примере на рис. 4 ряд 1/n.

Метод Нелдера-Мида

Этот метод является одним из наиболее быстрых и наиболее надежных не градиентных методов многомерной оптимизации. Идея этого метода состоит в следующем. В пространстве оптимизируемых параметров генерируется случайная точка. Затем строится n- мерный симплекс с центром в этой точке, и длиной стороны l. Далее в каждой из вершин симплекса вычисляется значение оценки. Выбирается вершина с наибольшей оценкой. Вычисляется центр тяжести остальных n вершин. Проводится оптимизация шага в направлении от наихудшей вершины к центру тяжести остальных вершин. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не окажется, что оптимизация не изменяет положения вершины. После этого выбирается вершина с наилучшей оценкой и вокруг нее снова строится симплекс с меньшими размерами (например l/2). Процедура продолжается до тех пор, пока размер симплекса, который необходимо построить, не окажется меньше требуемой точности.