У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте - [43]
Kline, M., Matemdticas, la perdida de la incertidumbre, Mexico D.F., Siglo Veintiuno Editores, 1998.
Martinez, G., Pineiro, G., Godel V (para todos), Barcelona, Destino, 2010.
Martinon, A. (compilador), Las matemdticas del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.
Nagel, E., Newman, J., El teorema de Godel, Madrid, Tecnos, 1994.
Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx: de los conjuntos a la complejidad, Buenos Aires, Katz Editores, 2006.
Smullyan, R,,Juegos por siempre misteriosos, Barcelona, Gedisa, 1988.
Stewart, I., Historia de las matemdticas, Madrid, Critica, 2008.
Аристотель 18-21, 37, 65
арифметика 22, 33, 35, 44-48, 51, 54, 58, 60, 62, 63, 64, 69, 73, 76-78, 81, 83, 84, 107, 108, 110, 112, 115-117, 155-157, 160
Архимед 24
бесконечность
актуальная 19-24, 28, 29, 31, 35, 37, 43, 44
потенциальная 19, 20, 22, 25, 28
Борель, Эмиль 10, 11
Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян 37, 38, 40, 47, 48, 56
Вена 13, 17, 18, 41, 53-57, 67, 90, 92-94, 96, 121, 126, 148
Венский кружок 13, 56-57, 67, 93, 121
Вселенная 21, 101, 124, 126, 127, 156, 157, 158
вращающаяся 123-128
Гёделя 124
Галилей, Галилео 21-23, 29, 37
Гаусс, Иоганн Карл Фридрих 23
Гейне, Эдуард 25, 28
Гейтинг, Аренд 48, 96
Герон Александрийский 45
Гёте, Иоганн Вольфганг фон 54
теория цвета 53, 54
Гиббсовская лекция 13, 149-155
Гильберт, Давид проблемы 7, 8, 42, 45, 46, 56, 65, 128, 137
программа 43-49, 51, 56-58, 61, 64, 65, 68, 74, 84, 87, 96-99, 106-108, 115, 150, 155, 156, 159, 161, 162
гипотеза континуум 43, 128, 136-138, 141, 151, 152
Римана 8
Гольдбах, Кристиан 108
Гольдбаха гипотеза 8, 9, 10, 108
Гудстейна теорема 80, 81
Джинс, Джеймс Хопвуд 126, 127, 140
диагональная функция 78, 79, 110
доказательство семантическое 157, 159, 160
синтаксическое 97, 99, 101, 103, 104, 107, 109-111, 113, 115, 139
единственность 26, 28, 137
разложения на простые числа 28
интуиционизм 36-43, 47, 48, 150, 161
Кантор, Георг 23-25, 28-32, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 128, 130-132, 136, 137, 141, 151, 152
Кантора диагональный метод 132-136
код 70-74, 76-82, 109, 110, 111, 113, 114, 116, 117
концептография 32
Коэн, Пол Джозеф 43, 137, 138, 141.152
Кронекер, Леопольд 25, 30, 31, 38
логицизм 36-43, 48, 161
множество 29, 30, 33, 34, 36, 46, 51, 58, 60, 65, 66, 73, 84, 85, 89-91, 99, 101, 103-106, 108, 109, 112, 113, 115-118, 128, 130-132, 134, 136-138, 141, 154-156, 159
бесконечное 28, 29, 128, 130— 32, 154
кардинальное число 128-134, 136, 138, 141
конечное 128, 130
теория 29, 30, 31, 33, 40, 41, 43, 44, 81, 127, 138, 141, 151, 152, 154
множество аксиом 46, 58,60,65, 66,73,89,90,101,103-106, 108,109,112,113,115-118, 155,156,159
неполное 106,109
непротиворечивое 101,103, 106,108,109,112-118,124, 151, 156, 159, 161
омега-непротиворечивое 112
полное 106, 108, 115
противоречивое 103-106, 116, 156, 161
модель 139-141, 153, 154, 157
Моргенштерн, Оскар 91, 122, 147, 148
"Начала" (Евклид) 22, 158
Нейман, Джон фон 48, 49, 91, 94, 146, 148
относительности теория 12, 55, 119, 123, 124, 126, 127, 140
парадокс лжеца 36, 83, 100
Пеано, Джузеппе 46
аксиомы 46, 60, 84, 155-157, 159-161
Планк, Макс 57
Планка принцип 31
платонизм 149-151
понятия семантические 96-100, 104, 156, 157, 159-162
синтаксические 96-99, 101, 103, 104, 106, 109, 115, 151-153, 162
Поркерт, Адель 13, 93-95
правила логики 60, 63, 66, 104, 111, 150, 157
синтаксические 104
Принстон, Институт перспективных исследований 13, 55, 90- 92, 96, 119, 121-123, 125-127, 145-148
Рассел, Бертран 11, 19, 31-37, 56, 70, 100, 104, 105, 124, 161
Рассела парадокс 34, 36, 43, 60, 100, 105, 154, 161
самореференция 36
метод 78-84, 110
семантическая 100
синтаксическая 100
теорема о неполноте (вторая теорема) 49, 65, 90, 106, 117, 143, 149, 152, 156, 160, 162
о неполноте (первая теорема) 7, 13, 41, 48, 51, 57, 64-68, 70, 82, 84, 87, 89, 90, 96, 97-99, 101, 109, 115, 117, 138, 143, 149, 152, 153, 160, 162
о полноте 57, 58-65, 85
Уайлс, Эндрю 59, 75, 85
Ферма теорема 59, 75, 84
формализм 48, 150, 151, 161
Фреге, Готлоб 19, 31-33, 35, 36, 44, 104, 105, 161
Фуртвенглер, Филипп 13, 54, 55, 67
Фурье ряды 25-26, 137
Чёрч, Алонзо 91, 92
число Гёделя 70-74, 76-79, 109, 116, 117
действительное 132, 134, 136
иррациональное 39, 40, 44
квадратное 22, 23, 29, 130
нормальное 10, 11
простое 8, 9, 22, 26-29, 38, 39, 58, 74, 76-78, 83, 99, 100, 102, 103, 107, 108, 116, 117
целое 26, 131, 132, 134, 139, 140
Шлик, Мориц 13, 56, 57, 93
Эйделотт, Франклин Риджвей 145, 146
Эйнштейн, Альберт 13, 18, 55, 90, 91, 94, 119, 122-126, 141, 146, 147, 161
Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств. Так же как и его друг Альберт Эйнштейн, он оспаривал догмы современной науки, и точно так же в его жизни присутствовали война и изгнание.
Георг Кантор первым среди ученых начал с математической точностью исследовать бесконечность, представлявшую философский интерес. Его новаторский подход к математике воплотился в теории множеств, он сформулировал противоречащие интуиции понятия разных видов бесконечного. До работ, которые были изданы ученым в конце XIX века и стали фундаментальным вкладом в науку, бесконечность, следуя восходившей к Аристотелю научной традиции, понималась как полезная условность. Смелость Кантора стоила ему дорого: его идеи были жестко отвергнуты многими современниками, что, вероятно, послужило причиной его душевной болезни и преждевременной кончины.Прим.
Если вы читали о динозаврах в детстве, смотрели «Мир юрского периода» и теперь думаете, что все о них знаете, – в этой книге вас ждет много сюрпризов. Начиная c описания мегалозавра в XIX в. и заканчивая открытиями 2017 г., ученые Даррен Нэйш и Пол Барретт рассказывают о том, что сегодня известно палеонтологам об этих животных, и о том, как компьютерное моделирование, томографы и другие новые технологии помогают ученым узнать еще больше. Перед вами развернется история длиной в 150 миллионов лет – от первых существ размером с кошку до тираннозавра и дальше к современным ястребам и колибри.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Эта книга состоит из трех частей и охватывает период истории физики от Древней Греции и до середины XX века. В последней части Азимов подробно освещает основное событие в XX столетии — открытие бесконечно малых частиц и волн, предлагает оригинальный взгляд на взаимодействие технического прогресса и общества в целом. Книга расширяет представления о науке, помогает понять и полюбить физику.
Автор множества бестселлеров палеонтолог Дональд Протеро превратил научное описание двадцати пяти знаменитых прекрасно сохранившихся окаменелостей в увлекательную историю развития жизни на Земле. Двадцать пять окаменелостей, о которых идет речь в этой книге, демонстрируют жизнь во всем эволюционном великолепии, показывая, как один вид превращается в другой. Мы видим все многообразие вымерших растений и животных — от микроскопических до гигантских размеров. Мы расскажем вам о фантастических сухопутных и морских существах, которые не имеют аналогов в современной природе: первые трилобиты, гигантские акулы, огромные морские рептилии и пернатые динозавры, первые птицы, ходячие киты, гигантские безрогие носороги и австралопитек «Люси».
Легендарная книга Лоуренса Краусса переведена на 12 языков мира и написана для людей, мало или совсем не знакомых с физикой, чтобы они смогли победить свой страх перед этой наукой. «Страх физики» — живой, непосредственный, непочтительный и увлекательный рассказ обо всем, от кипения воды до основ существования Вселенной. Книга наполнена забавными историями и наглядными примерами, позволяющими разобраться в самых сложных хитросплетениях современных научных теорий.
Если наша планета не уникальна, то вероятность повсеместного существования разумной жизни огромна. Более того, за всю историю человечества у инопланетян было достаточно времени, чтобы дать о себе знать. Так где же они? Какие они? И если мы найдем их, то чем это обернется? Ответы на эти вопросы ищут ученые самых разных профессий – астрономы, физики, космологи, биологи, антропологи, исследуя все аспекты проблемы. Это и поиск планет и спутников, на которых вероятна жизнь, и возможное устройство чужого сознания, и истории с похищениями инопланетянами, и изображение «чужих» в научной фантастике и кино.