У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте - [2]

Шрифт
Интервал

Решение проблемы, сформулированной в гипотезе Гольдбаха (или любой другой гипотезе), состоит в том, чтобы найти опровергающий контрпример или доказательство, подтверждающее ее истинность.

Если предложено рассуждение, предположительно доказывающее гипотезу, как мы убедимся в том, что оно верно? Если кто-то не убежден в справедливости рассуждения, каковы критерии, позволяющие устранить его сомнения? Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим еще один исторический пример.

В 1909 году французский математик Эмиль Борель дал определение понятию нормального числа. Нет необходимости вникать во все сложности этого определения, достаточно сказать, что число нормальное, когда после запятой его знаки ведут себя так, как если бы выбирались наугад, и это происходит при записи в десятичном (как это принято), двоичном, шестнадцатеричном или любом другом виде. Например, ясно, что 0, 101010101... не является нормальным числом (его знаки после запятой ведут себя слишком закономерно для того, чтобы быть похожими на случайные). И напротив, считается, что π = 3,1415926... и √2 = 1,4142135... являются нормальными числами, хотя эта гипотеза еще не доказана и не опровергнута.

Борель, помимо того что дал определение нормальным числам, доказал: их количество бесконечно, то есть ряд нормальных чисел никогда не заканчивается. Однако в его доказательстве были использованы очень косвенные методы; можно сказать, он также доказал, что этого бесконечного количества чисел не может не существовать. Главное в этой истории то, что Борель, как и никто другой, не был способен в 1909 году привести ни одного примера нормального числа. Некоторые числа (включая приведенные выше) подходили под определение нормальных, но нельзя было утверждать это точно. То есть Борель доказал, что существует бесконечное количество чисел определенного типа, но не смог привести ни одного из них. Допустима ли такая ситуация? Можем ли мы вести разговор о числах, ни имея ни одного их примера? В начале XX века многие математики начали выказывать недоверие доказательствам, включавшим ряды, образованные бесконечным количеством чисел (такими как ряд нормальных чисел). Они сомневались, допустимо ли работать с ними, пользуясь теми же правилами, что и для конечных рядов (то есть не расширяющихся до неопределенности). Это недоверие было подкреплено тем, что в 1902 году британский философ и математик Бертран Рассел нашел логические противоречия, связанные с рассуждениями такого типа.

В начале XX века вопрос о том, как определить справедливость математического рассуждения, был совершенно неясен. Среди математиков бурлили споры и дискуссии. И только почти через четверть века, в 1930 году, ученые пришли к соглашению о четких и конкретных критериях, которым должно соответствовать доказательство, чтобы его приняли как верное. Эти критерии, установленные объективно, состояли в том, чтобы рассуждения были проверены компьютером — беспристрастным судьей, который ограничивается вычислениями, не оперируя лингвистическими конструкциями. Естественно, это современный вариант соглашения, раньше он формулировался по-другому, поскольку в 1930 году еще не было компьютеров.

Но именно в том месте и в то время, когда математики собрались, чтобы прийти к согласию о надежных методах рассуждений, Курт Гёдель поднял руку и попросил слова, чтобы рассказать о своей теореме о неполноте: если даже придерживаться методов, исключающих ошибку, всегда будут существовать истинные гипотезы, которые нельзя доказать, и математические проблемы, которые невозможно решить с помощью самых надежных методов. Мы можем иметь потенциальную способность решать проблемы (без уверенности в том, что решение правильное), но никогда не сможем одновременно иметь уверенность в своих методах и возможность решить все проблемы.

Гёдель представил две теоремы о неполноте, первая из которых также известна как теорема Гёделя, а вторая получила название второй теоремы Гёделя.

Эта книга — об истории открытия Гёделя и его следствиях для философии математики. В главе 1 описаны исторический процесс, приведший к полемике о методах доказательства в математике, и роль, которую сыграла в этой полемике теорема Гёделя. В главе 2 приведены сама теорема и объяснение ее доказательства. Но как на том историческом этапе, когда почти все методы математического доказательства были поставлены под сомнение, Гёделю удалось убедить всех в своей правоте? Ответ на этот вопрос проанализирован в главе 3, в то время как глава 4 посвящена другим работам математика, среди которых — исследования в теории относительности. В последней главе обсуждаются некоторые философские следствия теорем Гёделя, связанные с природой математической истины.

1906 Курт Гёдель родился 28 апреля в Брно, в Австро-Венгерской империи (современная Чешская Республика), в семье Рудольфа Гёделя и Марианны Хандшу. У него был только один старший брат, которого, как и отца, звали Рудольфом.

1912 Гёдель перенес приступ ревматической лихорадки. Эта болезнь стала катализатором его ипохондрии как доминирующей черты личности.


Еще от автора Густаво Пиньейро
Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Георг Кантор первым среди ученых начал с математической точностью исследовать бесконечность, представлявшую философский интерес. Его новаторский подход к математике воплотился в теории множеств, он сформулировал противоречащие интуиции понятия разных видов бесконечного. До работ, которые были изданы ученым в конце XIX века и стали фундаментальным вкладом в науку, бесконечность, следуя восходившей к Аристотелю научной традиции, понималась как полезная условность. Смелость Кантора стоила ему дорого: его идеи были жестко отвергнуты многими современниками, что, вероятно, послужило причиной его душевной болезни и преждевременной кончины.Прим.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.