Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - [8]
Математическое рассуждение использует гипотезы. Умопостижение, присущее философу, идет дальше, чем построение гипотез. Оно заключается не в математических рассуждениях, идущих от гипотез к теоремам, а в философии и ставит вопросы самой математике: что означают гипотезы? Почему они приемлемы? Могут ли они быть другими? Математической деятельности не хватает возвращения от выводов к гипотезам.
О математических фигурах Платон говорит:
«— Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором. — Ты прав».
Так, когда математик устанавливает истинность общего свойства треугольника (как, например, в предложении 16 первой книги), не важно, каков он — остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, — даже если конкретная фигура, на которой он объясняет свои рассуждения, является остроугольным треугольником. Если же свойство, которое он хочет показать, зависит от вида треугольника, тогда он создает по теореме отдельно для каждого конкретного случая, как общая теорема Пифагора, из которой следуют три теоремы: предложение 47 первой книги и предложения 9 и 10 второй книги.
Рафаэль написал «Афинскую школу» в 1509 году по заказу папы Юлия II. На картине символически изображена философия, одна из четырех классических дисциплин, вместе с теологией, правом и медициной. Художник собрал всех персонажей, считавшихся в Средневековье отцами философии, но вдохновлялся знаменитостями своего времени: так, прообразом Платона послужил Леонардо да Винчи, а Гераклита — Микеланджело.
Список персонажей.
1. Зенон Элейский. 2. Эпикур. 3. Федерико II Гонзага. 4. Боэций или Анаксимандр или Эмпедокл. 5. Аверроэс. 6. Пифагор. 7. Алкивиад или Александр Македонский. 8. Антисфен или Ксенофонт. 9. Гипатия (Маргерита) или Франческо Мария делла Ровере. 10. Эсхин или Ксенофонт. 11. Парменид. 12. Сократ. 13. Гераклит (Микеланджело). 14. Платон (с «Тимеем», Леонардо да Винчи). 15. Аристотель (с «Этикой»). 16. Диоген Синопский. 17. Плотин. 18. Евклид или Архимед (Браманте). 19. Страбон или Заратустра. 20. Клавдий Птолемей. 21. Протоген. 22. Апеллес (Рафаэль).
Платон резюмирует сущность математического знания в своем седьмом письме:
«Чтобы достигнуть познания всего сущего, необходимо пройти три ступени; четвертая и есть само знание, а за пятую надо принять познаваемый предмет, существующий на самом деле. Первая ступень — имя, вторая — определение, третья — изображение, четвертая — знание».
Затем он подробно описывает каждую ступень по отдельности: определяющее название — definiens (например, «круг»), definiendum (определение), рисунок («его можно нарисовать и стереть») и настоящее мнение, то есть представление о совокупности его характеристик, в случае математики — соответствующие теоремы.
Аристотель же во «Второй аналитике» пишет, что доказательные науки сочетают в себе два аспекта: касающийся значения, то есть терминов, и касающийся существования, то есть предметов. Второе различие пересекается с предыдущим: необходимо отличать первичные термины и предметы от производных терминов и предметов (или свойств). Высказывания, в которых устанавливается значение или факт существования, являются тезисами; в частности, значение устанавливается в определениях, а существования — в гипотезах. Определения «ничего не говорят о существовании определенного предмета», они отвечают на вопрос: «Что это?», а не на «Существует ли?». Гипотезы, в свою очередь, делятся на общие понятия, в которых ум не может сомневаться (настолько они убедительны по своему существу), и на постулаты, не настолько очевидные и предполагающие существование некоторых сущностей. Общие понятия часто называют аксиомами. Современные математики не видят существенной разницы между ними и постулатами. Среди математических объектов есть «первичные», например величина в арифметике или в геометрии, существование которой «дано». Существование же всех остальных объектов необходимо установить. Предложения и теоремы описывают существующие объекты: «Если объекта не существует, высказывание ложно». Вопрос о существовании имеет основополагающее значение. Это не существование идей, предшествующих всему, как у Платона, а существование на основании аксиомы или доказательства, ведущего к ней.
Во «Второй аналитике» Аристотель пишет:
«Предположения — это суждения, при наличии которых получается заключение благодаря тому, что они есть. И геометр не предполагает нечто ложное, как это утверждали некоторые, указывая, что не следует пользоваться ложными положениями, а геометр как раз и допускает ложное, когда про линию, не имеющую в длину фута, говорит, что она имеет эту длину, или про начерченную линию, не являющуюся прямой, говорит, что она прямая. Однако геометр ничего не выводит на основании того, что линия такая, какой он сам ее назвал, но выводит посредством того, что он этим имел в виду. Далее, всякий постулат и всякое предположение берется или как нечто целое, или как часть; определения же — ни как то, ни как другое».
