Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика - [6]
Для любого измерения необходима единица измерения — величина, которая выбрана в качестве основы для сравнения со всеми остальными величинами того же типа. Результатом измерения является величина, которая выражается числом и названием соответствующей единицы измерения в полном или сокращенном виде: 25 кг, 30 м, 28 с и так далее.
Необходимость проводить измерения для планирования походов, проведения сельскохозяйственных работ, количественной оценки торгового оборота при покупках и продажах, для уплаты налогов и совершения многих других действий привела к возникновению великого множества единиц измерения. В традиционных системах мер единицы измерения определялись на основе частей тела, каких-то действий, связанных с сельскохозяйственными работами, или просто из соображений удобства для конкретной социальной группы.
Меры, определяемые на основе человеческого тела, сегодня мы называем антропоморфными — это локоть, пядь, фут, сажень и другие. Можно сказать, что знаменитое изречение Плутарха «человек есть мера всех вещей существующих» также относится к нашему обсуждению в том смысле, что с древних времен ряд единиц измерения был связан с самим человеком, с его телом. Разумеется, антропоморфные единицы, имевшие одно и то же название, в разных странах и в разное время отличались.
Антропоморфные меры.
Длинные расстояния измерялись с помощью единиц времени: в днях или часах пути пешком, на лошади и так далее. Такие меры называются путевыми. Позднее появились и другие меры, в частности стадий, лига или миля. Миля, к примеру, была путевой мерой, которую использовали еще древние римляне. Она равнялась восьми стадиям, или 1000 шагов в пять римских футов, то есть «ног» (примерно 1375 м). Сухопутная миля, которую используют англичане, равняется 1609 м. Существует и морская миля — 1852 м.
Для измерения площадей земельных участков использовались меры, связанные с человеческим трудом, например время, необходимое для обработки. Также меры площади пахотной земли, например испанская фанега, характеризовали количество зерна, которое можно было на ней вырастить. Подобные единицы не были постоянными и зависели от множества факторов.
Количество зерна традиционно измерялось по объему, и единицей измерения считался сосуд, например та же самая испанская фанега. Применение подобных мер могло вызывать конфликты: зерно можно отмерять одним и тем же измерительным инструментом либо по край, либо с горкой.
Большинству из нас привычна метрическая система мер. Мы измеряем расстояния между городами в километрах, отмеряем лекарство или молоко в детской бутылочке с соской в миллилитрах (или кубических сантиметрах), а если хотим приобрести жилье, то интересуемся его площадью в квадратных метрах.
Одновременно мы используем единицы из других систем: время мы отсчитываем в минутах, но придаем особое значение интервалу не в 10, а в 60 минут (этот интервал имеет свое название — час), а минута, в свою очередь, делится на 60 секунд. Есть свои единицы измерения для перчаток или обуви, которые выражаются не в сантиметрах или других единицах, производных от метра. Даже сегодня мы используем единицы из разных систем мер, и все они помогают нам описать окружающий мир.
В современных технологиях используются единицы измерения, которые не являются частью метрической системы мер. Классический пример — форматы бумаги в системе DIN. Наиболее популярным из них является DIN А4 (210 x 297 мм).
Эта система мер, используемая в большинстве стран мира, основана на немецком стандарте, введенном Deutsches Institut fur Normung (Немецким институтом по стандартизации) в 1922 году — стандарте DIN, который затем стал частью стандарта ISO (Международной организации по стандартизации). С форматами бумаги стандарта DIN работает большинство цифровых печатных машин и фотокопировальных аппаратов для частного и промышленного использования. Этот формат бумаги был создан с учетом трех условий: во-первых, соотношение большей стороны к меньшей у листов разного размера должно быть одинаковым; во-вторых, листы последовательных форматов по площади должны отличаться друг от друга ровно в два раза, так, что если разрезать лист пополам, то получится два одинаковых листа следующего формата; в-третьих, площадь листа наибольшего формата, А0, должна составлять ровно 1 м>2.
Формат листа бумаги, соотношение сторон которого при складывании пополам остается неизменным.
Как найти искомое соотношение? Рассмотрим прямоугольный лист бумаги со сторонами а и b соответственно. Лист бумаги большего формата должен иметь стороны 2а и b. Чтобы соотношение длин его сторон было прежним, должно выполняться условие:
Следовательно:
Иными словами, соотношение длины большей стороны к меньшей должно равняться √2. Если мы разрежем пополам лист бумаги, удовлетворяющий этому условию, то указанное соотношение сторон будет выполняться и для двух полученных листов.
Зная размеры листа формата А0, несложно определить размеры листа следующего формата (А1): достаточно разделить его большую сторону пополам и принять длину большей стороны листа А1 равной длине меньшей стороны листа А0. Если мы выполним аналогичные действия для листа А1, точнее, разделим его большую сторону пополам и оставим меньшую сторону неизменной, то получим лист формата А2 и так далее, как показано на следующем рисунке.
Первый перевод с французского книги «Recoltes et Semailles» выдающегося математика современности Александра Гротендика. Автор пытается проанализировать природу математического открытия, отношения учителя и учеников, роль математики в жизни и обществе. Текст книги является философски глубоким и нетривиальным и носит характер воспоминаний и размышлений. Книга будет интересна широкому кругу читателей — математикам, физикам, философам и всем интересующимся историческими, методическими и нравственными вопросами, связанными с процессом математического открытия и возникновения новых теорий.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.