Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление - [26]

Странные аттракторы Лоренца (слева) и Рёсслера (справа). Существование последнего до сих пор математически не доказано.

Какое значение для динамики имеет фрактальная геометрия аттрактора? Можно предположить, что никакого, но это не так. Пуанкаре, Смэйл и Лоренц учат, что в основе любой динамики всегда лежит геометрия.

В классических аттракторах (фиксированных точках и предельных циклах — еще не так давно другие аттракторы были неизвестны) соседние орбиты всегда располагаются близко друг к другу, небольшие ошибки, как и предполагал Лаплас, заключены в определенных границах, таким образом, можно делать долгосрочные прогнозы. Если говорить о странных аттракторах, присущих хаотическим системам, то все обстоит иначе: две орбиты с близкими начальными условиями располагаются близко друг к другу лишь на коротком промежутке времени, после чего очень быстро отдаляются. Поведение соседних траекторий в странном аттракторе можно проиллюстрировать следующим экспериментом: если представить, что они действуют на маленькую каплю красящего вещества в жидкости, то капля постепенно примет форму очень длинной и тонкой нити, словно пронизывающей весь аттрактор.

Даже если точки, отмеченные красящим веществом, изначально будут находиться очень близко друг к другу, в конечном итоге они окажутся в произвольных частях аттрактора. Прогнозирование финального состояния любой из этих точек при сколь угодно малой ошибке измерения невозможно — в зависимости от допущенной ошибки финальные состояния точек могут располагаться в любой части странного аттрактора. Хаос перемешивает орбиты подобно тому, как пекарь замешивает тесто. Поведение орбит геометрически описывается посредством операций растяжения и складывания. Орбиты должны растягиваться, при этом будут возрастать ошибки (эффект бабочки), а также складываться и постепенно сплетаться по мере приближения к аттрактору (эффект карточной колоды). Растягивание увеличивает неопределенность, при складывании изначально далекие друг от друга траектории сближаются, а информация об исходном состоянии системы уничтожается. Траектории смешиваются, как смешиваются карты в колоде в руках умелого игрока. Так как операции растяжения и складывания повторяются бесконечное число раз, в аттракторах хаотических систем должно наблюдаться множество сгибов внутри каждого сгиба. Именно поэтому с геометрической точки зрения хаотические аттракторы намного сложнее классических. По мере увеличения масштаба хаотические аттракторы раскрывают всё новые и новые детали и проявляют свое самоподобие: структура хаотических аттракторов на микроуровне столь же сложна, как и на макроуровне. Одним словом, хаотические аттракторы — это фракталы.

Несколько примеров хаоса

Мы увидели, что существуют математические системы, обладающие хаотической динамикой. Но каково их практическое значение? Что такое хаос: правило или исключение?

Хаос вездесущ и проявляется повсеместно: и при движении небесных тел (задача трех тел), и при колебаниях двойных маятников, в потоках на грани турбулентности (поток Рэлея — Бенара), в некоторых химических реакциях (реакция Белоусова — Жаботинского), в определенных биологических популяциях и так далее. Открытие повсеместного присутствия хаоса стало третьей великой революцией в науке за последние 100 лет, после открытия теории относительности и квантовой механики.

Достойный упоминания пример хаотического движения в Солнечной системе — движение Гипериона, спутника Сатурна, по форме напоминающего картофелину, который, как может показаться, совершает случайные колебания. Гиперион движется вокруг Сатурна по орбите правильной формы, однако вращается вокруг себя совершенно беспорядочно: в результате быстрого хаотического движения он переворачивается каждые 6 часов и при вращении вокруг своей оси в буквальном смысле подскакивает.

* * *

МИТЧЕЛЛ ФЕЙГЕНБАУМ В ПОИСКАХ ХАОСА

Митчелл Фейгенбаум (род. 1944) — специалист по математической физике, первый, кто начал изучать хаос с помощью компьютеров. В 1975 году методом проб и ошибок он обнаружил число, которое сегодня называется постоянной Фейгенбаума и характеризует переход от периодического движения к хаотическому. Мы уже наблюдали это любопытное явление, когда говорили о логистическом отображении: по мере того как мы постепенно изменяли значение параметра к, периоды орбит удваивались. На смену орбитам с периодом 1 приходили орбиты с периодом 2,4,8,16,32 и так далее, после чего, при превышении критического значения к, равного 3,569945…, наступал хаос.

Удвоение периодов орбит, начиная с k — 2 и заканчивая этим значением, происходит так быстро, что в конечном итоге период удваивается бесконечное число раз. Так возникает хаос. По мере увеличения к возрастает и сложность логистической системы: из стационарной она становится периодической, затем — хаотической. Если мы представим точку или точки, к которым сходится орбита х — 0,8 в логистическом отображении для различных значений параметра k, получим диаграмму, представленную на следующей странице.

На этой диаграмме значения к откладываются по горизонтальной оси, значения, к которым стремится орбита