Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - [9]

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 2 = 122

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 3 = 123

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 4 = 124

1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 5 = 125

Для краткой записи произведения последовательных чисел используется восклицательный знак:

1 x 2 x 3 x 4 = 4!

1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 5!

В математике такое выражение называется «факториал». Например, факториал числа 6 равен

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.

Выражения для четырех последовательных составных чисел удобнее записать следующим образом:

5! + 2

5! + 3

5! + 4

5! + 5

Таким образом можно составить любой ряд последовательных чисел, не содержащий простых чисел. Например, если мы хотим получить сто последовательных составных чисел, достаточно написать:

101! + 2,

101! + 3,

101! + 4,

и так далее до 101! + 101.

Это означает, что в ряду натуральных чисел существуют промежутки любой длины, в которых нет простых чисел. Таким же образом мы могли бы построить ряд из пяти триллионов последовательных чисел, в котором простое число не появится.

Получается, что простые числа встречаются все реже по мере продвижения по ряду натуральных чисел, и, следовательно, при приближении к бесконечности наступит момент, когда простые числа больше не появятся.

Конечно, этот вывод неверен, так как мы знаем, что по теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, и что каким бы длинным ни был ряд составных чисел, в конце концов появится простое число.

* * *

С ПОМОЩЬЮ КАЛЬКУЛЯТОРА

Хорошо бы использовать мощность компьютеров и написать программу, которая находила бы длинные ряды чисел, не содержащие простых чисел. В самом деле, алгоритм довольно прост, но нужно иметь в виду, что, работая с выражениями, содержащими факториалы, можно довольно быстро исчерпать память калькулятора. Факториалы будут расти с головокружительной быстротой. Это можно проверить на любом карманном калькуляторе, используя клавишу факториала (символ«!»). Посчитаем факториалы первых десяти чисел:

1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 6! = 720; 7! = 5040; 8! = 40320; 9! = 362880; 10! =3628800.

Большинство калькуляторов не смогут посчитать факториалы чисел, которые больше 70.

* * *

Чувство ритма

Во время концерта иногда возникает момент, когда публика оживляется и начинает аплодировать в такт музыке. Однако через некоторое время синхронность между ритмом хлопков аудитории и ритмом игры музыкантов нарушается. В случае простых ритмов синхронность может сохраняться довольно долго, но для более сложных ритмов это практически невозможно. Воспользуемся этой аналогией в отношении попыток математиков навязать чувство ритма простым числам, например, «один, два, три… вперед!» Но это не работает: простые числа не встречаются через каждые три составных числа. Попробуем по-другому: «один, два, три, двадцать, сто… вперед!» И это не работает. Мы могли бы повторять подобные попытки до бесконечности. Даже сегодня мы не знаем, подчиняются простые числа некоему чертовски сложному ритму или у них совсем нет чувства ритма.

Как найти закономерность в последовательности чисел? Для этого существует много способов. Важно, чтобы эта закономерность предсказывала появление следующего числа в последовательности. Например, для последовательности

2, 4, 6, 8, …

очевидно, следующее число будет 10.

В случае последовательности

1, 3, 5, 7, …

также легко предсказать, что следующее число — 9. Первый пример представляет собой последовательность четных чисел, а второй — нечетных. Еще один пример:

2, 3, 5, 9, 17….

Здесь каждое число получается умножением предыдущего на 2 и вычитанием из результата единицы.

Выражаясь языком математики, закономерность точно определена, если имеется «общий член» — выражение, позволяющее получить значение каждого члена последовательности, просто подставив значение индекса n. Например, для последовательности четных чисел формула общего члена выглядит так:

а_n= 2n.

Если n = 1, то а₁ = 2 х 1 = 2.

Если n = 2, то а₂  = 2 х 2 = 4.

Если n = 3, то а₃ = 2 х 3 = 6.

В случае последовательности нечетных чисел мы имеем следующую формулу общего члена:

а_n = 2n + 1.

Эту формулу можно использовать для нахождения значения любого члена. Например, чтобы найти значение члена, занимающего двадцать седьмую позицию в последовательности, мы подставим n = 27 в формулу общего члена:

а₂₇ = 2 х 27 + 1 = 55.

Нахождение формулы общего члена эквивалентно нахождению закономерности в данной последовательности. Возникает вопрос: поскольку мы можем найти любой член последовательности по формуле общего члена, можем ли мы найти эту формулу, имея достаточное количество членов последовательности? Для многих последовательностей ответ на этот вопрос часто является довольно сложной задачей.

Например, предсказать следующий член в последовательности

не так уж легко. И действительно, формула общего члена в данном случае выглядит так:

Чтобы найти первые три члена, подставим соответствующие значения n:

На протяжении многих веков это являлось одной из главных задач математиков в изучении простых чисел, но попытки найти закономерности и правила всегда заканчивались неудачей и разочарованием. Может, этот хаотический набор чисел действительно регулируется случайностью? Но математики, по-видимому, умеют ценить неудачи: пусть их усилия не достигают цели; даже в этом случае, возможно, будут найдены новые пути, разработаны другие математические методы или открыты новые понятия. Часто кажется, что поставленная цель была лишь предлогом для работы над новой задачей. Поэтому простые числа были и продолжают оставаться одним из самых богатых источников парадоксов и гипотез.