Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - [10]
Хотя общий закон для простых чисел нельзя установить, можно по крайней мере, изучать поведение некоторых простых чисел, имеющих особые свойства. Представьте себе, будто мы стоим у двери, через которую постоянно проходят группы людей. Мы знаем, что некоторые из них мужчины, а другие — женщины, но мы не можем найти правило, которое предсказывает, кто следующий появится в дверях.
И вот однажды мы замечаем некоторую особенность: оказывается, мужчины появляются в шляпах, а женщины в очках, с детьми и с зонтиками. Тогда мы пытаемся найти правило для каждой из таких групп: например, что мужчины в шляпах появляются в сто раз чаще, чем женщины, или что за каждым мужчиной обязательно следует женщина. Это позволяет нам найти некую закономерность. И может показаться, что такое правило действительно работает, пока мы не проверим его на трех миллионах человек. Тогда мы воскликнем: «О, почти!» И сформулируем результаты нашего исследования словами, которые часто использовались в истории простых чисел: «Похоже на то, что почти всегда…»
* * *
ОДИНОЧЕСТВО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Между двумя соседними простыми числами могут находиться миллионы и миллионы составных чисел или всего лишь одно, ведь это самое короткое расстояние между простыми числами, так как, за исключением чисел 2 и 3, простые числа никогда не следуют друг за другом. Этот факт был использован в виде метафоры в названии книги Паоло Джордано «Одиночество простых чисел». В одной из глав романа эта метафора описана более подробно: «В университете на одной из лекций Маттиа узнал, что среди простых чисел есть особенные. Математики называют их парными, или числами-близнецами. Это пары простых чисел, которые стоят рядом, то есть почти рядом, потому что между ними всегда оказывается другое число, которое мешает им по-настоящему соприкоснуться. Это, например, числа 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43. Маттиа думал, что они с Аличе — вот такие простые числа-близнецы, одинокие и потерянные, вместе, но недостаточно близкие, чтобы по-настоящему соприкоснуться друг с другом».
* * *
Действительно, некоторые группы простых чисел удалось описать (в общей сложности несколько десятков), и это позволило добиться определенного прогресса.
Мы остановимся на некоторых необычных парах простых чисел, имеющих свойства, которые помогут нам лучше представить математические трудности, связанные с этим непредсказуемым множеством.
Два простых числа не могут идти друг за другом, так как каждое простое число является нечетным. Следовательно, между двумя из них должно быть четное число, которое не является простым. Таким образом, два простых числа всегда разделены по крайней мере одним числом. Исключение составляют числа 2 и 3, так как 2 является единственным четным простым числом.
В первой сотне натуральных чисел мы можем найти следующие пары чисел, отличающихся на две единицы:
(3, 3), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (39, 61) и (71, 73).
Такие простые числа называются «числами-близнецами» или просто «парными».
Парные числа могут быть описаны выражением (р, р + 2), где р — простое число. Ниже мы приводим список всех парных чисел из первой тысячи:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29,31),
(41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),
(137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199),
(227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313),
(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523),
(369, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),
(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).
Мы знаем, что простые числа-близнецы по мере увеличения встречаются в ряду натуральных чисел все реже. Однако компьютерные вычисления показывают, что парные числа продолжают встречаться даже среди необыкновенно больших чисел.
А так как существует бесконечное количество простых чисел, можно выдвинуть гипотезу о существовании бесконечного множества чисел-близнецов, но это еще никому не удалось доказать.
Еще одна замечательная группа простых чисел, которая встречается в первой сотне натурального ряда, содержит три числа: 3, 5 и 7. Они могут быть записаны как (р, р + 2, р + 4), где р — простое число. Эта группа простых чисел состоит из так называемых «троек». На самом деле нет никакой необходимости давать им специальное название, так как существует только одна такая тройка. Это доказанный результат. К счастью, этот вопрос решен, в противном случае эта группа могла бы породить еще несколько недоказанных гипотез.
Самыми большими известными числами-близнецами (открытыми в 2009 г.) являются числа 65 516 468 355 х 2>333333—1 и 65 516 468 355 х 2>333333 + 1, каждое из которых состоит из 100 355 цифр!
* * *
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАЗДЕЛЕНИЯ
Парные числа породили целый ряд гипотез в дополнение к той, согласно которой их множество бесконечно. Одна из них носит общий характер и была сформулирована в 1849 г. французским математиком Альфонсом де Полиньяком(1817–1890). Он предположил, что для любого числа С найдется бесконечное количество пар простых чисел, разделенных 2С составными числами.
Например, существует бесконечное множество простых чисел, разделенных четырьмя составными числами, шестью составными числами, восемью составными числами и так далее. При С = 1 эта гипотеза является гипотезой о бесконечном количестве чисел-близнецов.
Большинство из нас испытывает головокружение, думая о бесконечности: ее невозможно себе представить!Быть может, именно поэтому она является неисчерпаемым источником вдохновения. В погоне за бесконечностью ученым пришлось петлять между догмами и парадоксами, вступать на территорию греческой философии, разбираться в хитросплетениях религиозных измышлений и секретов тайных обществ.Но сегодня в математике бесконечность перестала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический объект, подобный числам и геометрическим фигурам.
Что есть случайность? Этим вопросом мы задаемся, сталкиваясь с неожиданными и, казалось бы, невозможными совпадениями. Однако с математической точки зрения шансы многих событий гораздо выше, чем любой из нас мог бы подумать. В книге «Игра случая» математик Джозеф Мазур открывает необыкновенный мир теории вероятности, описывая сложные математические понятия простым, веселым языком. Как объяснить то, что книгу из школьной библиотеки с вашей подписью вы вдруг обнаруживаете на букинистическом развале в другой части света? Могут ли присяжные быть абсолютно уверенными в результатах анализа ДНК, найденного на месте преступления? Почему Аврааму Линкольну снились вещие сны? На многих примерах реальных событий Мазур показывает нам неотвратимость случайных событий.
Галилео Галилей заметил, что Вселенная — это книга, написанная на языке математики. Макс Тегмарк полагает, что наш физический мир в некотором смысле и есть математика. Известный космолог, профессор Массачусетского технологического института приглашает читателей присоединиться к поискам фундаментальной природы реальности и ведёт за собой через бесконечное пространство и время — от микрокосма субатомных частиц к макрокосму Вселенной.
Курт Гёдель изменил понимание математики. Две теоремы о неполноте, сформулированные им в 1931 году, с помощью формальной логики выявили хрупкость фундамента великого здания математики, которое усердно строили со времен Евклида. Научное сообщество было вынуждено признать, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать ее, и интуицию нельзя исключить из царства математики. Гёдель, получивший образование в благополучной Вене межвоенного периода, быстро заинтересовался эпистемологией и теорией доказательств.
Хаос буквально окружает нас. Солнечная система, популяции животных, атмосферные вихри, химические реакции, сигналы головного мозга и финансовые рынки — вот лишь некоторые примеры хаотических систем. Но по-настоящему удивительно то, что хаотическими могут быть простые системы, например двойной маятник. Очередной том из серии «Мир математики» рассказывает о хаосе, то есть о беспорядочном и непредсказуемом поведении некоторых динамических систем, а также о связи теории хаоса с глобальным изменением климата.
Основу задачника составили варианты письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов Москвы.Сборник содержит около 500 типовых задач. K каждой задаче дается до трех указаний, помогающих найти правильный путь к решению, а затем приводится подробное решение.Пособие может использоваться при самостоятельной подготовке к экзаменам в вуз, а также на подготовительных отделениях и курсах.
В пособии конспективно изложен школьный курс геометрии. Приведены комплекты экзаменационных билетов, задачи и их решения, распределённые по различным уровням сложности.Материалы пособия соответствуют учебной программе школьного курса геометрии.Для учителей и учащихся 9-х классов.
Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.
Статистика — наука, которая кажется знакомой, ведь мы привыкли слышать упоминания о ней в СМИ. Иногда к ней относятся несерьезно, потому что статистические прогнозы не всегда сбываются. Однако этот факт не отменяет чрезвычайной важности статистических исследований. Цель статистики — получить знания объективным способом на основе наблюдений и анализа реальности. В этой книге затронуты некоторые наиболее интересные аспекты статистики, например, вопросы о том, как провести сбор данных и как представить информацию с помощью графиков.
Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.
Какова взаимосвязь между играми и математикой? Математические игры — всего лишь развлечение? Или их можно использовать для моделирования реальных событий? Есть ли способ заранее «просчитать» мысли и поведение человека? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге. Это не просто сборник интересных задач, но попытка объяснить сложные понятия и доказать, что серьезная и занимательная математика — две стороны одной медали.