Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - [4]
Тьюринг первым попытался решить биологические задачи с помощью компьютера, став одним из пионеров вычислительной биоматематики. Таким образом, его исследования придали этой дисциплине более прикладной характер, сблизив ее с привычными биологическими исследованиями в лаборатории. Биологи и другие ученые под влиянием работ Тьюринга также начали изучать жизнь с математической точки зрения. Подобные исследования проводились в разные годы XX века; проводятся они и сейчас. Кроме того, Тьюринг открыл новую область математической биологии, предложив первую математическую теорию морфогенеза. В одной из своих работ для анализа формы растений он использовал числа Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. д. образуется по следующему правилу: если принять первое число Фибоначчи, a>1, равным 0, второе число, a>2, равным 1, то каждое последующее число будет определяться как сумма двух предыдущих. Иными словами, а>n = а>n-1 + а>n-2. Любопытно, что числа Фибоначчи описывают количество лепестков цветов, расположение чешуек шишек и листьев растений.
Число спиралей на этой шишке в каждом направлении (8 и 13 соответственно) выражается последовательными числами Фибоначчи.
Эта особенность растений получила название филлотаксиса Фибоначчи. Так, числа Фибоначчи описывают расположение листьев растений, при котором их освещенность будет оптимальной. Представьте, что лист соперничает с соседними за доступ к солнечному свету. Каким будет оптимальное расположение листьев, обеспечивающее наибольшую освещенность каждого листа? Ответ дает последовательность Фибоначчи.
Продолжив исследования, Тьюринг совершил свое самое знаменитое открытие в этой области — он создал математическую модель «реакция — диффузия». Свои идеи ученый изложил в статье «Химическая основа морфогенеза», опубликованной в престижном научном журнале Лондонского королевского общества в 1952 году. Тьюринг был математиком, а не биологом, поэтому он попытался объяснить интересовавшее его явление с помощью дифференциальных уравнений. Он задался вопросом: каким образом в однородной ткани клеток, в зачаточном состоянии очень похожих друг на друга, например клеток кожи позвоночных, образуются полоски или пятна? С биологической точки зрения эти полоски или пятна — проявление различий между пигментными и непигментными клетками. Как следствие, полоски на шкуре зебры будут результатом нарушения изначального единообразия зародышевых клеток кожи.
Тьюринга интересовал биологический механизм, ведущий к появлению подобных узоров. Ученый предполагал, что полученный узор представляет собой нестабильное состояние, поскольку стабильным состоянием является единообразие зародышевых клеток без характерного узора. С помощью компьютера Ferranti Mark I Тьюринг провел ряд экспериментов по моделированию и доказал, что полученный узор на коже зависит от значений параметров математической модели.
Полоски на шкуре зебры — один из примеров, описываемых уравнениями «реакция — диффузия» Тьюринга.
Параметр математической модели — это значение, соответствующее какому-либо свойству, которое нельзя оценить напрямую, в ходе наблюдений. Тьюринг выявил несколько закономерностей, очень похожих на те, что описывают распределение щупалец гидры или расположение лепестков цветка. Предположив, что клетки имеют круглую форму, Тьюринг смоделировал многоклеточный зародыш — бластулу.
Бластула — один из этапов развития зародыша, на котором уже можно заметить появление узоров. Тьюринг изучил зародыши амфибий и ежей, которые сегодня благодаря своим особым свойствам широко используются в качестве моделей при изучении морфогенеза. Ученый предположил, что узоры образуются в результате процессов реакции — диффузии. Согласно его гипотезе, в зародышевой ткани, то есть в группе клеток, сгруппированных на плоскости, будут присутствовать пигментные клетки, продуцирующие вещество морфоген. Как только молекулы этого загадочного вещества распространятся в результате диффузии по зародышевой ткани, они вступают между собой в реакцию. Распределение продуктов этой химической реакции определяет так называемое поле концентраций — отпечаток, согласно которому и формируется узор зародышевых клеток. Следовательно, полоски, пятна и любые другие узоры, которые мы можем увидеть на шкуре животных, есть не более чем реплики поля концентраций. Мы не будем рассматривать знаменитые уравнения реакции — диффузии Тьюринга во всех подробностях, а только приведем их:
Эти выражения объясняют, как с течением времени изменяется объем или концентрация двух веществ, предложенных Тьюрингом, которые он назвал морфогеном-активатором (М>А) и морфогеном-ингибитором (М>1). Как мы уже отмечали, эти два вещества производятся только пигментными клетками. В свою очередь, f(М>А, М>1) и g(М>А, М>1) — две функции, обозначающие реакцию между активатором и ингибитором, а выражения
