Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - [5]

Легенду, согласно которой Архимед сжег римские военные корабли с помощью зеркал, решительно можно считать художественным вымыслом. В исторических источниках, ближайших по времени к эпохе Архимеда, его подвиги как военного инженера описываются в возвышенных тонах и с большими преувеличениями, однако зажигательные зеркала не упоминаются. Вероятно, этот эпизод был добавлен к историям о чудесных боевых машинах Архимеда позже, тем более что он вряд ли располагал необходимыми технологиями для изготовления таких зеркал. Возможно, он знал, как их можно сделать, и по этой причине изобретение приписывается именно ему.

Гравюра, посвященная легендарному изобретению Архимеда — зажигательным зеркалам, с помощью которых он сжег вражеские корабли при осаде Сиракуз.

Точнее говоря, Архимед, разумеется, знал, что зеркало в форме параболоида вращения фокусирует солнечные лучи в определенной точке, называемой фокусом. Для тех читателей, кто не знаком с параболоидом вращения, укажем, что это поверхность, получаемая вращением параболы вокруг оси.

Архимед доказал несколько удивительных утверждений о параболах. Одно из них, касающееся квадратуры параболы, мы используем в качестве примера, показывающего, как гармоничное сочетание математических идей рождает красоту в математике.

Квадратура параболы

Парабола входит в число конических сечений, то есть кривых, получаемых сечением конуса плоскостью. В зависимости от расположения этой плоскости сечением конуса будет окружность, эллипс, гипербола или парабола. Последнюю мы получим, когда секущая плоскость расположена параллельно образующей конуса.

Полное фото семейства: конус и его отпрыски.

Греки попытались решить задачу о квадратуре для областей, ограниченных каждой из этих кривых, с помощью циркуля и линейки. В случае с окружностью и эллипсом они потерпели неудачу, так как для вычисления искомой квадратуры требовалось знать точное значение числа π. Неудача постигла их и при вычислении квадратуры гиперболы, так как для этого требовалось рассчитать логарифмы. Однако им удалось квадратуру параболы — это сделал Архимед тремя разными способами, один удивительнее другого. Рассуждения Архимеда изложены в его труде под названием «Метод» — об удивительной истории этой книги мы расскажем позже.

Парабола может быть определена не только как коническое сечение, но и следующим способом. Допустим, дан угол с вершиной в точке А, образованный сторонами АВ и АС. Обозначим через r соотношение длин этих сторон: r = АВ/АС. Предлагаем читателю выбрать произвольную точку на отрезке АС. Она будет располагаться на некотором расстоянии от вершины А (обозначим его через d). Соедините эту точку с точкой отрезка АВ, находящейся на расстоянии d·r от В. Если вы проведете это построение для всех точек стороны АС, построенные отрезки будут описывать кривую, являющуюся частью параболы. Эта кривая изображена на следующем рисунке: слева показаны несколько точек отрезка АС, соединенные с соответствующими точками отрезка АВ, справа — парабола, описанная этими отрезками.

Осью этой части параболы будет прямая, соединяющая точку А с серединой отрезка ВС. Точка V, где ось пересекает параболу, называется вершиной.

Парабола, ее ось и вершина.

Рассмотрим сегмент параболы BVC с вершиной в точке V.

На этом сегменте параболы мы построим треугольник с вершинами D, В и С: сторона DB будет параллельной оси сегмента параболы и пройдет через точку В, а сторона DC будет касаться параболы в точке С.

Архимед доказал, что площадь сегмента параболы BVC равна одной третьей площади треугольника BDC. Ключевым элементом его рассуждений стало умелое использование рычага. Чтобы читателю было проще понять, приведем схему рассуждений в общем виде. Сначала мы представим треугольник и сегмент параболы в виде совокупностей отрезков прямых, затем вставим в геометрическую фигуру рычаг — он позволит нам сравнить отрезки, на которые мы разделили обе фигуры. Затем вновь составим из этих отрезков треугольник и параболу, которые будут находиться в равновесии на концах рычага. Согласно правилу рычага, площади треугольника и параболы будут обратно пропорциональны плечам рычага, уравновешивающего их.

Наконец, вычислим искомое соотношение плеч рычага. Чтобы читатель смог лучше понять эстетику этих рассуждений, напомним ему фразу Эмиля Шартье (Алена): «Прекрасное не доставляет удовольствие или неудовольствие — оно заставляет нас задержаться». Подробные рассуждения выглядят следующим образом.

Архимед счел, что треугольник BDC образован множеством отрезков XT, параллельных оси параболы (или стороне треугольника BD), а сегмент параболы BVC образован множеством прямых отрезков ХР, параллельных оси параболы, как показано на следующем рисунке. Представление геометрической фигуры в виде множества отрезков было чем-то доселе невиданным в математике. В следующий раз этот метод был применен в XVII веке, спустя почти две тысячи лет.

Далее Архимед сравнил отрезки, из которых состояли рассматриваемые фигуры, с помощью рычага. Плечо рычага будет располагаться вдоль прямой, соединяющей вершину треугольника