Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [38]
Рассмотрим расчет годовой рентабельности инвестиций. В момент времени t была совершена инвестиция в размере I>0, по прошествии n дней акции были проданы за I>t, причем I>0 < I>t. Общий доход В в результате инвестирования равен разнице курсов акций |I>t — I>0| > 0 вкупе с дивидендами, правом подписки на акции и т. д.
Рентабельность инвестиций R (в %) будет равна:
R = (B/I>0)∙100
Рентабельность за год R>a рассчитывается по правилу пропорции:
рентабельность R за срок в ___ n дней
рентабельность R за срок в ___ 365 дней
R>a= R∙(365/n)
Часто при оценке доходности ценных бумаг используется показатель PER (коэффициент цена/прибыль), который связывает цену приобретения бумаги С>t с полученными или ожидаемыми доходами от нее за период t (дивиденды, ожидаемая положительная курсовая разница и т. д.):
PER = C>t/G>t = Цена акции/ Чистая прибыль (на акцию)
где C>t — стоимость бумаги, G>t — ожидаемая прибыль от нее за период t.
Обратите внимание, что показателем, обратным этому коэффициенту, является рентабельность акции:
Рентабельность акции = Чистая прибыль (на акцию)/Цена акции = 1/PER
Чаще всего используются следующие коэффициенты, показывающие финансовые итоги в пересчете на акцию:
Дивидендная доходность = Общие дивиденды/Рыночная капитализация = Дивиденд на одну акцию/Курс акции
где
Дивиденд на акцию = Прибыль после уплаты налогов/Количество акций
если прибыль после уплаты налогов полностью распределяется между акционерами.
Если же в виде дивидендов выплачивается лишь часть прибыли, то важен коэффициент, показывающий, какая именно доля прибыли направлена на уплату дивидендов.
Дивиденды могут рассчитываться на основе учетной стоимости акций, их рыночной или номинальной стоимости.
Коэффициент, связывающий денежный поток предприятия (чистый доход = прибыль + амортизация) с числом акций:
Денежный поток на акцию = (Прибыль + амортизация)/Количество акций
Индикатор β показывает уровень риска, связанный с вложением в определенные ценные бумаги, и характеризует волатильность котировок ценной бумаги. Если коэффициент β равен n, это означает, что доходность волатильной ценной бумаги в n раз больше доходности по индексу или по всем ценным бумагам на рынке. Так, если β = 2, а средняя доходность ценных бумаг на рынке равна 10 %, то доходность рассматриваемой ценной бумаги составит 20 %.
Риск измеряется путем сравнения доходности ценной бумаги и всех бумаг на рынке, при этом ее доходность будет отклоняться от среднерыночной. Эти отклонения оцениваются с помощью среднеквадратического отклонения σ или дисперсии, равной σ>2. Если средняя доходность по рынку равна R, а доходность ценной бумаги i равна R>i, то риск, рассчитанный с помощью среднеквадратического отклонения, будет равен:
Также можно использовать полудисперсию, то есть дисперсию, в которой учитываются только отрицательные отклонения, характеризующие риск потери средств.
В экономике часто существует взаимосвязь между произвольными переменными — ковариация. Считается, что между двумя статистическими переменными существует ковариация, если между ними наблюдается однонаправленная причинно-следственная связь (значения переменной X влияют на значения Y, но не наоборот) или взаимозависимость (значения X влияют на значения Y и наоборот).
Изучение ковариации между двумя статистическими переменными можно начать с графических методов. На следующих диаграммах представлено множество точек, соответствующих парам значений переменных, для которых мы хотим определить наличие ковариации. Эта диаграмма называется диаграммой рассеяния.
Положительная линейная корреляция.
Отрицательная линейная корреляция.
Отсутствие корреляции.
Существуют два метода анализа ковариации между двумя статистическими переменными: регрессия и корреляция. При анализе корреляции рассчитывается числовой коэффициент, который используется как индикатор степени ковариации между двумя переменными, а при регрессионном анализе определяется математическая функция, описывающая ковариацию для всех значений переменных.
Вывод коэффициента корреляции для всей генеральной совокупности на основе анализа выборки, который обозначается R, выполняется на основе коэффициента корреляции r, рассчитанного для выборки. Этот процесс подробно изучен. По сути, r можно рассмотреть как оценочное значение R и проанализировать, действительно ли оно является точным оценочным значением. Выборки из одной и той же генеральной совокупности можно формировать множеством способов, и коэффициент корреляции на каждой выборке будет отличаться. Коэффициенты корреляции r для всех возможных выборок являются значениями случайной величины, которая характеризуется собственным распределением.
* * *
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Чтобы подтвердить исходное предположение, что между двумя переменными наблюдается корреляция (к такому выводу можно прийти, взглянув на диаграмму рассеяния), рассчитаем коэффициент корреляции. Для выборки из n пар значений (х>i, у>i) при i = 1, 2, 3…., n показателем линейной связи между переменными является r — линейный коэффициент корреляции,
где х>¯, у>¯, σ>х, σ>у — средние значения и среднеквадратические отклонения, рассчитанные для переменных
К созданию невозможного вечного двигателя одни изобретатели приступали, игнорируя законы природы, другие же, не зная их, действовали на авось. В наше время, в эпоху расцвета науки и техники, едва ли есть серьёзные изобретатели, которых увлекала бы бесплодная в своей основе идея создания вечного двигателя.
Легендарная книга Лоуренса Краусса переведена на 12 языков мира и написана для людей, мало или совсем не знакомых с физикой, чтобы они смогли победить свой страх перед этой наукой. «Страх физики» — живой, непосредственный, непочтительный и увлекательный рассказ обо всем, от кипения воды до основ существования Вселенной. Книга наполнена забавными историями и наглядными примерами, позволяющими разобраться в самых сложных хитросплетениях современных научных теорий.
Если наша планета не уникальна, то вероятность повсеместного существования разумной жизни огромна. Более того, за всю историю человечества у инопланетян было достаточно времени, чтобы дать о себе знать. Так где же они? Какие они? И если мы найдем их, то чем это обернется? Ответы на эти вопросы ищут ученые самых разных профессий – астрономы, физики, космологи, биологи, антропологи, исследуя все аспекты проблемы. Это и поиск планет и спутников, на которых вероятна жизнь, и возможное устройство чужого сознания, и истории с похищениями инопланетянами, и изображение «чужих» в научной фантастике и кино.
Книга немецкого историка, востоковеда, тюрколога, специалиста по истории монголов Бертольда Шпулера посвящена истории и культуре Золотой Орды. Опираясь на широкий круг источников и литературы, автор исследует широкий спектр вопросов: помимо политической истории он рассматривает религиозные отношения, государственный строй, право, военное дело, экономику, искусство, питание и одежду.
Джон фон Нейман был одним из самых выдающихся математиков нашего времени. Он создал архитектуру современных компьютеров и теорию игр — область математической науки, спектр применения которой варьируется от политики до экономики и биологии, а также провел аксиоматизацию квантовой механики. Многие современники считали его самым блестящим ученым XX века.
Женщина, еврейка и ученый — непростая комбинация для бурного XX века. Австрийка по происхождению, Лиза Мейтнер всю жизнь встречала снисходительность и даже презрение со стороны коллег-мужчин и страдала от преследований нацистов. Ее сотрудничество с немецким химиком Отто Ганом продолжалось более трех десятилетий и увенчалось открытием нового элемента — протактиния — и доказательством возможности расщепления ядра. Однако, несмотря на этот вклад, Мейтнер было отказано в Нобелевской премии. Она всегда отстаивала необходимость мирного использования ядерной энергии, в изучении которой сыграла столь заметную роль.