Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [13]
Чтобы узнать вероятность того, что будет получено три или менее ответа «да», нужно вычислить вероятности следующих событий: ни одного ответа «да», один ответ «да», два ответа «да» или три ответа «да», то есть Р (0 < k < 3) = Р (0) + Р (1) + Р (2) + Р (3). Эту же формулу можно записать так:
Функция, позволяющая вычислить вероятность того, что на п вопросов будет дано от 0 до k ответов «да», равна сумме вероятностей, последним слагаемым в которой будет Р(k). Эта же формула записывается в следующем виде:
В похожем виде записываются статистические функции, к примеру:
Эта же формула в виде ряда будет записываться так:
Аналогичный вид имеют статистические формулы:
Инфляция — это повышение цен на товары и услуги, при которой зарплаты или доходы потребителей не меняются и, таким образом, их покупательная способность снижается. Это означает, что на ту же сумму денег, что и раньше, можно купить меньше товаров. Чтобы измерить инфляцию, необходимо проанализировать изменения цен. Высокая инфляция негативно сказывается на экономике страны, так как уровень доходов потребителей и домохозяйств снижается, одновременно с этим ухудшается конкурентоспособность страны на мировом рынке. Следовательно, инфляцию необходимо контролировать. Стабильность цен — одна из необходимых характеристик здоровой экономики государства.
Колебания цен измеряются с помощью индексов. При расчете инфляции рассматриваются средние цены потребительской корзины товаров и услуг, в которой различным ценам присваиваются весовые коэффициенты. Выбранный год рассматривается в качестве исходного, и ему присваивается значение 100, на основе которого рассчитывается рост средневзвешенных цен в последующие годы.
Так, например, если в качестве базового выбран нулевой год с индексом 100, и в последующие годы зарегистрированы приведенные ниже показатели роста цен, индекс цен изменится так:
Расчет индекса цен.
Статистические организации государства разрабатывают различные индексы цен для разных продуктов. Самым известным является индекс потребительских цен, рассчитываемый на основе фиксированной корзины определенных продуктов и обязательных расходов потребителей (продукты питания, одежда, коммунальные услуги, образование, общественный транспорт ит.д.). Так же формируются индексы цен для других продуктов, например промышленных, сельскохозяйственных, строительных товаров, индекс цен на недвижимость и т. д.
Годовой уровень инфляции (в %) рассчитывается по следующей формуле:
Существует множество теорий, объясняющих рост цен. Некоторые из них записаны на языке алгебры, как, например, количественная теория денег Ирвинга Фишера. Согласно этой теории уровень цен (Р) в стране зависит от общего объема всех товаров и услуг (Q), количества денег в обращении (М) и скорости обращения денежной массы (V), показывающей, сколько раз деньги переходят из рук в руки:
Р∙Q = М∙V.
* * *
ИНДЕКСЫ ЦЕН
Для количественной оценки изменения цен, объемов производства или стоимости за определенный период времени используется огромное количество различных индексов. Если мы хотим рассчитать глобальные индикаторы изменения цен или объемов производства в стране, нужно рассмотреть соответствующие временные ряды. Цены сравниваются с ценами определенного года, выбранного в качестве базового. Индексы производства рассчитываются при неизменном уровне цен, индексы цен — при неизменных объемах производства.
Наиболее популярные индексы производства и цен — это индексы Ласпейреса (Q>L, P>L), Пааше (Q>p, P>р) и Фишера (Q>F, P>F).
где Р — цена, Q — объем производства, Σp>0q>t, обозначает общую стоимость всей продукции, выпущенной за год t при неизменных ценах р>0 года 0, а Σp>0q>0стоимость всей продукции, произведенной в стране за год 0. Аналогично рассчитываются индексы при неизменных ценах.
Индекс Фишера является средним геометрическим индексов Ласпейреса и Пааше.
* * *
Американский экономист Ирвинг Фишер (1867–1947) совершил множество открытий в области экономической теории, в частности описал уравнения количественной теории денег.
Если выразить из этого равенства переменную Р, получим новое уравнение: Р = М∙V/Q. Из него нетрудно понять, что цены возрастают с ростом М (денежной массы на руках у населения) при условии, что остальные две переменные, V и Q, остаются неизменными, либо если возрастает V — скорость обращения денег. Цены снижаются, когда уменьшается денежная масса или скорость обращения денег. Изменение цен обратно пропорционально изменению количества товаров и услуг: если предложение растет, а объем денежной массы и скорость обращения денег остаются неизменными, цены снижаются, если объем производства падает, цены растут.
Существуют другие теории и математические модели, объясняющие инфляцию, например кривая Филлипса. Олбан Филлипс связывал уровень инфляции с уровнем безработицы: он проанализировал статистические данные Великобритании и представил их на графике, на оси ординат которого откладывался уровень инфляции, на оси абсцисс — уровень безработицы. Кривая Филлипса является нисходящей и по своему поведению напоминает кривую спроса: при росте цен уровень спроса снижается. В итоге Филлипс получил обратную зависимость между уровнем безработицы и инфляцией, основной причиной которой являлся рост зарплат. Иными словами, с ростом инфляции уровень безработицы снижается и, напротив, политика сдерживания цен приводит к росту безработицы.
