Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [12]
Знак Σ перед х>i означает, что нужно сложить все значения х. Числа, указанные под буквой Σ и над ней, обозначают границы суммы, то есть наибольшее и наименьшее значение индекса, которое используется при сложении.
Сумма Σ >6>k=3 x>k означает х>3 + х>4 + х>5 + х>6,
Cумма Σ >n>j=m x>j означает х>m+ х>m+1 … + х>n-1 + х>n.
Индексы могут принимать только целые значения, а нижний индекс может быть обозначен любой буквой.
Так, Σ >m>i=1 x>i = Σ >m>j=1 x>j = Σ >m>k=1 x>k
Член, следующий за буквой Σ, называется слагаемым. В выражении Σ >m>k=1 x>k слагаемыми являются х>k.
* * *
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.
Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.
Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х>2 — 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх>2 — 6х>3 = -12 — уравнение третьей степени.
В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.
Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:
х кг вес золота 975-й пробы
(2 — х) кг вес золота 750-й пробы
х∙0,975 + (2 — х)∙0,750 = 2∙0,900
х∙0,975 + 2 0,750 — 0,750∙х = 1,800
х∙0,975 — 0,750х = 1,800 — 2∙0,750
х∙0,225 = 1,800 — 1,500
х∙0,225 = 0,300
х = 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы
(2 — х) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.
Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м>2 Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины (х) на длину (х + 20) равно 2400 м>2. Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах>2+ Ьх + с = 0. Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:
В этом случае:
х∙(х + 20) = 2400; х>2 + 20х = 2400; х2 + 20х — 2400 = 0.
Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.
Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства:
<= «меньше либо равно»
< «меньше» (строго)
>= «больше либо равно»
> «больше» (строго).
Неравенству с одной переменной х — 7 > 13 удовлетворяют все числа, которые при уменьшении на 7 равняются 13 или более. Неравенства решаются по схожему алгоритму. Пример:
х — 7 >= 13; х — 7 + 7 >= 13 + 7; х >= 20.
Решением этого неравенства является множество всех чисел, больших или равных 20.
Иногда уравнения и неравенства ведут себя по-разному, как, например, в следующем случае.
Здесь для решения неравенства нужно сменить его знак на противоположный.
Это можно показать так: 7 < 13, однако, напротив, — 7 > — 13.
* * *
Сумма первых восьми нечетных чисел записывается следующим образом:
Σ >n>j=0 (1 + 2j) = (1 + 2∙0) + (1 + 2∙1) + (1 + 2∙2) + (1 + 2∙3) + (1 + 2∙4) + (1 + 2∙5) + (1 + 2∙6) + (1 + 2∙7) + (1+ 2∙8) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17.
Сумма Σ >5>j=2 2>j равняется 2>2 + 2>3 + 2>4 + 2>5 = 4 + 8 +16 + 32.
Сумма Σ >3>l=1 (l+1)∙3>l = 2∙З>1 + 3∙З>2 + 4∙3>3 = 6 + 27 + 108.
* * *
ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Во многих областях современной математики переменная определяется как дискретное множество (это означает, что она может принимать только определенные значения, и между двумя соседними значениями не может находиться никакого другого). На языке математики это записывается так: {х>1, х>2, …,х>n}. Между значениями х>1 и х>2 нет никакого другого значения переменной х.
Существуют и другие переменные, используемые намного чаще, которые определены на непрерывных множествах (это означает, что такие переменные могут принимать целые, дробные и иррациональные значения). Примером такой переменной является {0 <= t <=
Функция f(t) непрерывной переменной t, определенная на множестве {a <= t <= b}.
Функция у(х) дискретной переменной х, определенная на множестве {х>1, х>2, х>3, x>4}.
Множество из четырех элементов можно обозначить буквами и цифрами, которые будут выступать в качестве индексов: х>1, х>2, х>3, x>4.Если мы хотим работать с множеством из n элементов (n может изменяться в зависимости от задачи), они будут обозначаться {х>1, х>2…. х>n-1, x>n}. Так, х>n >- 1 обозначает элемент, идущий перед х>n, последним элементом множества. Произвольный элемент ряда (занимающий в нем i-е место) обозначается х>i. Таким образом, например, цены четырех товаров можно обозначить p>1, р>2, р>3 и р>4, а запрошенные объемы каждого товара — q>1, q>2, q>3 и q>4.
* * *
Определенная сумма применяется при записи математических рядов, например биномиального ряда. Биномиальное распределение вероятности используется при анализе результатов опросов, когда на вопрос возможны лишь два ответа (например, «да» и «нет»). Вероятность их появления равняется
