Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - [9]

Главной целью рассуждений Зенона было подтвердить правильность теорий Парменида (предполагается, что он был учителем Зенона), который утверждал, что все сущее является неделимым как в пространстве, так и во времени. Кроме того, Зенон также хотел поспорить с пифагорейцами, считавшими порождением всего сущего «непрерывный поток».

Следствием невозможности разделить время на промежутки стала невозможность движения, которое понималось как последовательность участков пространства, которые занимал объект в течение некоторого периода времени. Идея Зенона заключалась в следующем: если принять верной гипотезу, противоположную гипотезе Парменида, мы получим противоречие столь абсурдное, что оно будет абсолютно неприемлемо с позиций здравого смысла. Этот логический метод называется доведением до абсурда, и Зенон был если не создателем, то по меньшей мере одним из первых, кто широко использовал его.

Суть метода заключается в следующем: предполагается, что определенная гипотеза верна, и на ее основе делается ряд логических умозаключений, которые ведут к очевидно ложному результату, на основании чего делается вывод о ложности исходной гипотезы. В терминах логики в основе этого метода лежат следующие соотношения:

И

 И

Л

 Л

Л

 И,

где И = ИСТИНА, Л = ЛОЖЬ, 

— логическая связка, означающая «если… то». Иными словами, И

И означает, что из истинного утверждения следует другое истинное утверждение, таким образом, истинная предпосылка никогда не может вести к ложному следствию. Если же вывод ложный, то исходное положение неверно. С помощью этих логических умозаключений, лежащих в основе метода доведения до абсурда, можно было доказать ложность некоторого утверждения, что и делал Зенон в своих парадоксах.

Пифагорейцы считали, что реальность состоит из точек: точки образуют прямые, прямые — поверхности, поверхности — трехмерные тела. Зенон не принимал этого мнения, указывая, что поскольку точки не имеют размеров, то все составленное из них также не может иметь размеров, то есть не может существовать. Кроме того, все составленное из точек можно разделить на части бесконечное число раз, что ведет к множеству абсурдных ситуаций.

* * *

ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ ОБРАЗ МЫШЛЕНИЯ

Парадокс — это особая форма аргументации. Его суть заключается в том, что некоторое утверждение принимается в качестве исходного, после чего путем корректных логических рассуждений из него выводится противоречащий здравому смыслу результат, тем самым правильность исходного утверждения ставится под сомнение. Логические парадоксы, впервые появившиеся в элейской школе, основывались на логических высказываниях, которые могли быть как истинными, так и ложными. Один из популярнейших парадоксов древности — так называемый «парадокс лжеца», изложенный Эпименидом Критским. Этот парадокс гласит: «Все критяне — лжецы».

Эпименид не может говорить правду, так как он критянин, но в то же время если он лжет, его высказывание будет верным, и в результате возникает противоречие.

* * *

Парадоксы имеют безупречную логическую структуру. Они являются темой для размышлений и в наши дни и допускают множество толкований, играя ключевую роль во всестороннем понимании проблемы бесконечности. Изначально считалось, что Зенон создал более сорока парадоксов, посвященных этой теме, но из всех дошедших до наших дней наиболее известны четыре: дихотомия, парадокс Ахиллеса и черепахи, парадокс стрелы и парадокс «стадиона», которые мы подробно рассмотрим ниже.

Дихотомия

Этот парадокс напрямую связан с понятием движения и показывает его невозможность: телу, которому нужно пройти расстояние между точками А и В, сначала необходимо переместиться на половину этого расстояния, затем — половину оставшейся половины и т. д. Это бесконечное число расстояний, которое должно преодолеть тело, нельзя пройти за конечное время. Следовательно, движение невозможно.

Ахиллес и черепаха

Легконогий Ахиллес считался самым быстрым из людей, в противоположность черепахе. В этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой. Если они стартуют одновременно, то Ахиллес очевидно придет к финишу первым. Все изменится, если дать черепахе небольшое преимущество, сколь бы мало оно ни было. В этих условиях Ахиллесу сначала нужно будет достичь точки, в которой изначально находилась черепаха. Но когда он достигнет этой точки, черепаха уже отойдет на некоторое расстояние. Ахиллесу снова придется пробежать расстояние, отделяющее его от черепахи. Однако за то время, пока он будет бежать, черепаха отойдет еще дальше, и Ахиллес по-прежнему не сможет догнать ее. Так как этот процесс повторяется бесконечно, он никогда не догонит черепаху.

Может показаться, что оба парадокса если не аналогичны, то очень похожи, однако между ними существует небольшая разница: в первом случае пространство делится на две равные части, а в парадоксе об Ахиллесе и черепахе — на все более мелкие части.

Стрела

Этот парадокс — самый неоднозначный из четырех. Историки указывают, что исходный текст дошел до нас не полностью и его пришлось восстанавливать. Суть парадокса такова: когда мы выпускаем стрелу, нам кажется, что она удаляется от нас, но в действительности она не движется, так как стрела, как и всякий другой объект, занимает пространство, равное самой себе, но для этого она должна находиться в покое. Если время состоит из неделимых мгновений, стрела не может занимать два или более места в пространстве одновременно.