Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - [10]
Если в двух первых парадоксах речь идет о невозможности бесконечного деления пространства, то этот парадокс посвящен неделимости времени, в частности существованию того, что мы называем «мгновение», так как если оно неделимо, оно не имеет длительности, и, следовательно, движение невозможно. Мгновение, понимаемое таким образом, подобно точке в геометрии.
Стадион
Допустим, что время — дискретная величина, и его основной единицей является произвольная сколь угодно малая величина t. Это означает, что не существует единицы времени, меньшей t, которая, следовательно, является неделимой. Можно представить часы, где каждому звуку «тик» или «так» соответствует эта неделимая единица времени.
Рассмотрим четыре равных тела А>1, A>2, А>3, и А>4 которые находятся в состоянии покоя (в исходной формулировке парадокса речь идет о шеренге из четырех солдат):
и четыре других тела B>1, B>2, B>3, и А>4, точно соответствующие предыдущим четырем, движущиеся вправо:
Они движутся так, что в каждый момент времени одно из тел В находится напротив одного из тел А:
Рассмотрим теперь третий ряд тел C>1, C>2, C>3, и C>4, также равных предыдущим, которые движутся влево так, что в каждый момент времени каждое из них находится напротив одного из тел А:
Парадокс возникает, когда мы одновременно рассматриваем оба движения: для тел В и для тел С. Если исходное положение тел таково, как представлено на рисунке:
то в следующий момент времени («тик» часов) тела будут расположены так:
Но это означает, что C>1 сместилось на расстояние, равное величине двух тел В. Следовательно, выбранную нами единицу времени можно разделить пополам, что противоречит исходному утверждению о ее неделимости.
Аристотель обрушился на этот парадокс с критикой, показав, что Зенон считал одинаковыми тела в состоянии покоя и тела в движении. Если скорость движущегося тела неизменна, то скорость, с которой оно движется относительно другого, находящегося в состоянии покоя, нельзя считать равной скорости, с которой тело движется относительно другого движущегося тела. Однако возражение Аристотеля тривиально, сложно поверить, чтобы Зенон упустил его из вида.
В других трактовках считается, что этот парадокс, подобно предыдущим, посвящен делению времени и пространства на бесконечное число частей. Таким образом, чтобы одно тело могло пройти мимо другого, движущегося тела, сначала оно должно пройти расстояние, равное половине длины этого тела, находящегося в состоянии покоя, и т. д.
В любом случае кажется достаточно правдоподобным, что Зенон вновь хотел поспорить с пифагорейцами, указав на противоречие, касающееся неделимости геометрических фигур.
* * *
ЗЕНОН. ЗАБЫТЫЙ ГЕНИЙ
Зенон Элейский (ок. 490–425 гг. до н. э.) был древнегреческим философом и принадлежал к элейской школе, основанной Парменидом. Основным источником знаний о Зеноне является диалог Платона «Парменид». Можно утверждать, что он принадлежал к философскому течению, которое называется монизмом. В монизме считается, что все сущее неизменно и никакие изменения невозможны. По мнению некоторых философов, Зенон не получил того признания, которого заслуживал. Бертран Расселл отчасти исправил ситуацию, сказав: «В этом капризном мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одним из тех, кто больше всего пострадал от несправедливости потомков, был Зенон Элейский. Он сформулировал четыре неизмеримо тонких и глубоких аргумента, но невежественные философы последующих времен сочли его лишь искусным престидижитатором, а его аргументы — простыми софизмами. После двух тысяч лет забвения этим софизмам вновь было уделено внимание, и они стали основой возрождения математики…» («Начала математики», книга 1,1903)
На этой фреске из Королевской библиотеки монастыря Эскориал изображен Зенон Элейский, показывающий ученикам врата Истины (Veritas) и Лжи (Falsitas).
* * *
Критика Аристотеля в отношении первого парадокса позволила заложить основы очень важного понятия, касающегося бесконечности, и, по мнению многих авторов, является важнейшим вкладом в изучение бесконечности.
Во-первых, обратите внимание, что слово «бесконечность» допускает две трактовки: как нечто бесконечно протяженное и как нечто бесконечно делимое. В первом парадоксе смешиваются обе трактовки, так как согласно ему ограниченное пространство, которое делится на бесконечное множество частей, не может быть пройдено за конечное время. Проводится следующее различие: в непрерывном пространстве, в котором движется тело, существует бесконечное число половин расстояний, но потенциально, а не в действительности. В этом заключается важность вклада Аристотеля, так как начиная с этого момента возникли две различные трактовки бесконечности, в определенном смысле несовместимые: так называемая потенциальная и актуальная бесконечность, о которых мы говорили в предыдущей главе.
Мы очень часто определяем, что верно, а что нет, руководствуясь здравым смыслом, основанным на чувствах, которые, говоря языком современных технологий, можно определить как средства фиксации и обработки окружающей нас реальности.
Нечто является разумным в той степени, в которой на это указывают наши ощущения. Сколь парадоксальным ни казался бы нам полет стрелы, органы чувств ясно указывают, что стрела отдаляется от нас. Разумеется, Зенону это было прекрасно известно, но ему также было известно, что чувства не всегда могут служить надежной опорой разуму.
