Том 13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики - [5]

Шрифт
Интервал

Размах вариации

Размах вариации — это разность между наибольшим и наименьшим значением. Например, если дана выборка 2, 6, 7,12,12,18, размах вариации равен 18 — 2 = 16. Этот показатель очень просто вычислить, но он обладает определенным недостатком: в нем не учитывается информация, содержащаяся во всей выборке. Анализ только крайних значений, которые могут встречаться очень редко, явно недостаточен, особенно если выборка велика. Если элементов выборки мало (например, 4–5), размах вариации — подходящий показатель. Если число элементов выборки равно двум, то этот показатель столь же удобен, как и все остальные.


Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Наиболее часто используемый показатель вариации — среднеквадратическое отклонение. Чтобы определить его, начнем с дисперсии, так как среднеквадратическое отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии.

Если бы мы хотели разработать какой-то показатель вариации, то очевидно, что в его расчете должны были бы использоваться все данные, как в случае со средним арифметическим. Например, дана выборка 1, 2, 4, 7 и 9. Можно вычислить среднюю разность между каждым значением и средней величиной, равной 4,6:


Однако этот показатель всегда будет равен нулю вне зависимости от того, какими будут элементы выборки. Следовательно, он не имеет смысла (его значение одинаково вне зависимости от вариации). Используем абсолютные значения разностей:


Этот показатель называется среднее абсолютное отклонение. Он достаточно удобен, так как большему разбросу данных соответствует большее значение этого показателя. Но все же гораздо более интересными свойствами обладает показатель, в котором проблема взаимного сокращения разностей решается путем возведения их в квадрат:


Разность между каждым значением и средним арифметическим 4,6. Дисперсия — среднее значение квадратов этих разностей.


Этот показатель называется дисперсией. Он позволяет оценить разброс значений, а также лежит в основе многих статистических методов. Дисперсия обозначается δ>2. Недостаток дисперсии заключается в том, что ее единица измерения — это единица измерения исходных данных, возведенная в квадрат. Если исходная выборка состоит из значений длины в метрах, единицей измерения дисперсии будет квадратный метр, что несколько усложнит интерпретацию. Решение этой проблемы очень простое: нужно всего лишь извлечь из дисперсии квадратный корень.

Полученное значение, которое мы будем обозначать δ, называется среднеквадратическим отклонением и является самым распространенным показателем вариации. Обобщение большой выборки данных очень часто производится с помощью всего двух показателей: среднеквадратического отклонения и среднего арифметического.

* * *

НЕМНОГО ФОРМУЛ

Общая формула расчета дисперсии такова:


где x>i — значения элементов выборки, μ — среднее арифметическое, N — число элементов выборки. Формула расчета среднеквадратического отклонения такова:


* * *

Коэффициент вариации

Какая величина варьируется больше — вес котов или вес коров? Допустим, что средний вес кота равен 4 кг и в 95 % случаев он лежит в интервале от 3 до 5 кг. Предположим, что вес коровы в 95 % случаев лежит в интервале от 480 до 500 кг. Если мы изучим вес котов, то увидим, что он варьируется очень сильно (некоторые коты весят почти в два раза больше других), а вес коров различается несущественно.

Среднеквадратическое отклонение веса котов будет находиться в пределах 0,5 кг. В соответствии с закономерностью вариации весов, 95 % выборки отстоит от среднего значения не более чем на два среднеквадратических отклонения. Об этом будет рассказано в следующей главе, посвященной нормальному распределению. Среднеквадратическое отклонение веса коров будет лежать в пределах 5 кг, что в 10 раз больше, однако вес коров варьируется меньше.

Чтобы разрешить этот парадокс, возникающий при сравнении вариаций, вводится коэффициент вариации, который равен частному среднеквадратического отклонения и среднего значения:


В нашем примере коэффициент вариации для веса котов равен 0,125, для веса коров — 0,01. Коэффициент вариации — безразмерная величина.

* * *

ДВЕ КЛАВИШИ ДЛЯ РАСЧЕТА СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ

Несмотря на то что дисперсия и среднеквадратическое отклонение — важнейшие показатели статистики, их часто пытаются скрыть. При попытке обобщить большую выборку данных мы можем столкнуться с одной из следующих ситуаций.

1. Интерес представляют имеющиеся данные. Мы хотим определить среднее значение или среднеквадратическое отклонение этих данных, составляющих так называемую генеральную совокупность.

2. Имеющиеся данные являются выборкой из изучаемой генеральной совокупности. Иными словами, интерес представляет не столько среднее значение или среднеквадратическое отклонение, сколько оценка (некое представление) значений генеральной совокупности.

Расчет среднего значения в обоих случаях будет одинаков. Формула не изменится, так как наилучшей оценкой среднего значения генеральной совокупности является среднее значение выборки. Если мы хотим сделать какие-то выводы о генеральной совокупности на основании выборки, необходимо, чтобы выборка была репрезентативной.

Продолжить чтение
Рекомендуем почитать
Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.

Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.

Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.

Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.

Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.

Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.

Золотое сечение. Математический язык красоты

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.

Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.

Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.

Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.