Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов - [6]
Для расчета вероятностей нужно четко представлять все возможные исходы.
* * *
У. УИНГФИЛД И А. А. МАРКОВ: ТЕННИС И ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Уолтер Уингфилд (1833–1912) запатентовал игру под названием теннис в феврале 1874 года. Андрей Андреевич Марков (1856–1922) занимался изучением последовательностей случайных событий, которые позднее стали называться цепями Маркова. Цепь Маркова представляет собой ориентированный граф, вершинам которого соответствуют состояния, а дугам — переходы из одного состояния в другое в зависимости от вероятности исходного события, но не всей последовательности предшествующих событий. Уингфилда и Маркова объединяет работа А. Л. Садовского и Л. Е. Садовского «Математика и спорт», в которой цепи Маркова используются для анализа теннисных партий. Так, на рисунке вероятности возможных исходов для каждого события соответственно равны 0,6 и 0,4.
* * *
Рассмотрим задачу, которую можно решить с помощью деревьев. Даны n городов A>1, А>2… А>n. Зная затраты на установление сообщения между каждой парой городов (стоимость строительства дорог, прокладки водо- и газопровода, линий электропередачи, телефонных линий), определите, как можно соединить города самым дешевым способом. Очевидно, что сеть «экономических связей» будет деревом, так как все города должны быть связаны друг с другом и не должно существовать циклов. Если бы в этой сети существовал цикл, можно было бы удалить одно из его ребер и все города по-прежнему были бы соединены между собой, но уже при меньших затратах.
Следовательно, дерево связей между n городами будет иметь n — 1 ребро. Соединим два города, для которых стоимость прокладки всех коммуникаций будет наименьшей. Затем соединим один из них с третьим городом, для которого стоимость коммуникаций будет минимальной, и так далее. Как называется множество различных графов, которые являются деревьями?
Наверное, вы уже догадались: такое множество называется лесом. Вопреки известной пословице, в теории графов за деревьями лес виден.
* * *
ГРАФЫ И ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИЕ ДЕРЕВЬЯ
Родословную человека или семьи можно представить в четкой и упорядоченной форме с помощью графа, в вершинах которого размещаются фотографии, имена и годы жизни родственников, а ребра графа указывают на родственные отношения. Такое дерево может быть нисходящим и изображать всех потомков одной супружеской пары или восходящим, на котором будут представлены все предки конкретного человека.
В прошлом генеалогические деревья изображались в виде настоящих деревьев с ветвями и листьями. Сегодня благодаря использованию графов генеалогические деревья стали более понятными, пусть и менее живописными. Многие из них представлены в цифровом виде (различные программы для составления генеалогических деревьев можно найти в интернете). В настоящее время в виде генеалогических деревьев также изображают родословные собак, скаковых лошадей, боевых быков, связи политических партий, музыкальных жанров, родственных языков и многое другое. Быть может, читатель захочет составить свое генеалогическое древо по прочтении этой главы.
Современное генеалогическое древо царской семьи Романовых, составленное на компьютере, и генеалогическое древо семейства Ругон-Маккаров из произведений писателя Эмиля Золя, составленное в 1878 году.
ГРАФ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ
По адресу http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu находится страница математического генеалогического проекта (Mathematics Genealogy Project), на которой собраны данные о математиках и их «потомках» — тех ученых, которые защитили докторскую диссертацию под их руководством. Проект непрерывно пополняется данными о все новых и новых диссертациях, и постепенно формируется дерево взаимосвязей между всеми математиками. По состоянию на апрель 2010 года были собраны данные о 140 982 математиках.
Главная страница проекта Mathematics Genealogy Project
* * *
Помимо генеалогических деревьев, которые даже могут висеть в гостиной, графы используются на телевидении для представления числа происшествий, уровня безработицы, биржевых котировок по дням и по годам. Наручные часы — это граф с 12 вершинами; в виде геометрических графов можно изобразить план вашей квартиры, посуду, украшения и так далее. GPS, карты и автомобильные маршруты, представленные в интернете, — еще один прекрасный пример использования графов. Ребрами в них являются улицы и автодороги, вершинами — населенные пункты и города. Вершины таких графов имеют наименования, ребрам соответствуют числа, обозначающие расстояния в километрах. Таким образом, полученный граф является помеченным и взвешенным.
Эта карта автомобильных дорог 1929 года — прекрасный пример графа.
Иногда подобные графы выглядят еще проще. На следующих рисунках представлены еще две схемы.
Графы на схеме проезда от аэропорта до одной из гостиниц Токио.
Графы помогают наглядно представить себе схемы общественного транспорта, что облегчает планирование поездки. Те же графы используются при проектировании новых линий и остановок. На схеме нью-йоркского метрополитена в виде графа представлены линии метро (изображены цветными ребрами), станции и переходы. Впервые графы были применены на схемах метро в лондонском метрополитене. Графы авиалиний, на которых из одной точки (аэропорта) выходит множество линий (маршрутов), выглядят намного сложнее.
