Теория струн и скрытые измерения Вселенной - [39]

Однако существовал еще один тип сингулярностей, представляющих собой сигарообразные выступы, от которого Гамильтон подобным образом избавиться не сумел. Если бы он смог показать, что «сигары» в процессе трансформации многообразий не возникают, проблема сингулярностей стала бы намного яснее, что позволило бы сделать огромный шаг в направлении доказательства гипотез Пуанкаре и Тёрстона. Ключевым моментом, согласно идее Гамильтона, стало применение оценок Ли-Яу в случае любой, не обязательно положительной, кривизны многообразия. Он немедленно привлек меня к решению этой задачи, оказавшейся на удивление трудной. Однако нам все же удалось достичь некоторых результатов, и окончание всей работы казалось только вопросом времени.

Мы были весьма удивлены, когда в ноябре 2002 года в Интернете появилась первая из трех статей под авторством санкт-петербургского математика Григория Перельмана, посвященная геометрическим применениям методов потока Риччи. Менее чем через год на том же сайте были выложены вторая и третья статьи. В этих статьях Перельман задался целью «прояснить некоторые детали программы Гамильтона» и «дать краткий набросок доказательства гипотезы геометризации».[41] Он, так же как и Гамильтон, использовал неравенства Ли-Яу для контроля над поведением сингулярностей, хотя и ввел их несколько иным образом, добавив помимо этого много собственных нововведений.

В определенном смысле статьи Перельмана появились буквально из ниоткуда. Никто не знал, что Перельман когда-либо занимался проблемами, связанными с потоком Риччи, поскольку он был известен благодаря своим успехам в совершенно иной области математики — так называемой метрической геометрии, где он доказал знаменитую гипотезу, предложенную геометрами Джефом Чигером и Детлефом Громоллом. Но за несколько лет до появления в Интернете его статей Перельман надолго пропал из виду. Иногда другие математики получали от него электронные письма, в которых он интересовался литературой по вопросам потока Риччи. Однако никто не догадывался, что Перельман серьезно работает над использованием потока Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре, поскольку он практически никому не сообщал об этом. По сути дела его деятельность была столь незаметна, что многие из его бывших коллег сомневались в том, что он все еще вообще занимается математикой.

Сами по себе статьи были не менее поразительны — всего шестьдесят восемь страниц текста, — что привело к тому, что другим ученым пришлось потратить немало времени на то, чтобы понять их содержание и извлечь из них ключевые аргументы, кратко набросанные Перельманом. На сегодняшний день является общепризнанным, что программа исследований, начатая Гамильтоном и продолженная Перельманом, в конце концов привела к разрешению как давней гипотезы Пуанкаре, так и более свежей проблемы Тёрстона.

Если это единодушное признание действительно имеет под собой основу, то совместные успехи Гамильтона и Перельмана представляют собой важнейшее достижение геометрического анализа. Согласно моим расчетам, почти половина теорем, лемм и прочих вспомогательных утверждений, полученных в этой области на протяжении последних тридцати лет, были использованы в работах Гамильтона и Перельмана, что и привело в конце концов к доказательству гипотезы Пуанкаре.

Итак, вы увидели некоторые из тех гвоздей, которые по самые шляпки загнал в дерево молоток геометрического анализа. Однако вы, наверное, помните, что я обещал описать три важнейших достижения геометрического анализа. Успехи в области четырехмерной топологии и доказательство гипотезы Пуанкаре вместе с методами потока Риччи, понадобившимися для ее доказательства, представляют собой только два из них. Остается еще и третье достижение — то, в котором я принял непосредственное участие и о котором пойдет речь далее.

Четвертая глава Слишком хорошо, чтобы быть правдой

Третье важнейшее достижение, полученное при помощи нашего нового «молотка» — геометрического анализа, — относится к гипотезе, выдвинутой в 1953 году Эудженио Калаби, математиком, с 1964 года работающим в Пенсильванском университете. Эта гипотеза, как будет показано далее, стала ключевой в обсуждаемой области и оказала огромнейшее влияние на всю мою дальнейшую научную карьеру. Я считаю своей особенной удачей то, что мне довелось наткнуться на идеи Калаби, точнее, налететь на них лбом — тогда еще не было принято носить шлемы. Конечно, каждый математик, достаточно талантливый и подготовленный, с большой вероятностью внесет определенный вклад в исследуемую им область, однако чтобы найти задачу, специально предназначенную для твоего таланта и образа мыслей, необходимо иметь еще и особое везение. В математике мне везло не один раз, но столкновение с гипотезой Калаби в этом отношении для меня является удачей из удач.

Задача имеет форму теоремы, связывающей топологию комплексных пространств, о которых мы поговорим далее, с их геометрией, или кривизной. Основная идея состоит в следующем. Возьмем некое необработанное топологическое пространство, представляющее собой что-то вроде пустого участка земли, специально расчищенного для предстоящего строительства. Соорудим на нем некую геометрическую структуру, которую впоследствии можно еще и декорировать различными способами. Вопрос, который задал Калаби, хотя и содержит некоторые оригинальные идеи, тем не менее принадлежит к тому типу вопросов, которые очень часто ставятся геометрами, а именно: какие из строго определенных геометрических структур допустимы для заданной топологии или, грубо говоря, для заданной формы объекта?