Теория струн и скрытые измерения Вселенной - [149]

, которые играют важную роль в М-теории. В результате большей части своих успехов мы обязаны многообразиям Калаби-Яу, поскольку у нас есть инструменты для их изучения, которых у нас нет для других видов решений».[302] В этом смысле многообразия Калаби-Яу явились для нас своего рода лабораторией для экспериментов или, по крайней мере, для обдумывания экспериментов, которые помогают нам в изучении теории струн и, надеюсь, Вселенной в целом.

«Тот факт, что мы начали думать о Калаби-Яу как о математических объектах раньше, чем отвели для них значимую роль в физике, свидетельствует о силе человеческого разума, — отмечает стэндфордский математик Рави Вакил. — Мы не навязываем Калаби-Яу природе, но, похоже, природа навязывает их нам».[303]

Это не означает, однако, что пространства Калаби-Яу обязательно являются последним словом в науке или что мы даже живем в таком пространстве. Изучение этих многообразий позволило физикам и математикам узнать много интересного и неожиданного, но эти пространства не в состоянии объяснить все и не могут привести нас туда, куда мы предположительно хотели бы прийти. Хотя пространства Калаби-Яу не могут быть конечным пунктом назначения, они вполне могут быть «ступенями к новому уровню понимания», — говорит Строминджер.[304]

Говоря как математик, а я полагаю, что только так и могу говорить (с любой властью), я могу сказать, что полного понимания пространства Калаби-Яу пока не существует. И у меня есть сомнения в том, сможем ли мы когда-нибудь узнать все, что нам необходимо знать о таких пространствах. Одна из причин моего скептицизма связана с тем фактом, что одномерное Калаби-Яу называется эллиптической кривой, а эти кривые, представляющие собой решения кубического уравнения, в котором по крайней мере некоторые члены возведены в третью степень, являются загадочными объектами в математике. Кубические уравнения очаровывают математиков на протяжении веков. Хотя уравнения имеют простую форму (например, y² = x³ + ах + b), знакомую каждому из курса алгебры старших классов школы, их решения скрывают в себе много глубоких тайн, которые могут завести практиков в отдаленные уголки математики. Знаменитое доказательство великой теоремы Ферма Эндрю Уайлса, например, вращается вокруг понимания эллиптических кривых. Однако несмотря на блестящую работу Уайлса, существует много нерешенных проблем, связанных с такими кривыми и, что эквивалентно, с одномерными Калаби-Яу, для которых пока не видно решения в поле зрения.

У нас есть основания полагать, что обобщения эллиптических кривых на более высокие размерности, из которых трехмерное пространство Калаби-Яу представляет собой только один из вариантов, можно использовать для решения серьезных загадок в математике, поскольку мы часто узнаем что-то новое, помещая особые случаи, такие как эллиптические кривые, в более общие, многомерные (любой размерности) пространства. На этом фронте изучение двухмерных пространств Калаби-Яу, то есть комплексных поверхностей K3, уже помогло ответить на некоторые вопросы теории чисел.

Но эта работа только начинается, и мы понятия не имеем, куда она нас заведет. На данном этапе было бы справедливым сказать, что мы едва поцарапали поверхность, неважно, является ли она поверхностью K3 или другой разновидностью Калаби-Яу. Вот почему я считаю, что глубокое понимание этих пространств может оказаться невозможным, пока мы не поймем значительную часть математики, которая охватывает геометрию, теорию чисел и анализ.

Кто-то может считать это плохой новостью, но я вижу в этом только хорошее. Это означает, что многообразия Калаби-Яу, как и сама математика, совершенствуются, идя дорогой, которая, несомненно, имеет много изгибов и поворотов. Это значит, что впереди еще много нового, что нам предстоит узнать и сделать. И тем из нас, кто боится остаться без работы, без любимого занятия и даже без научных сюрпризов, не о чем беспокоиться: в ближайшие годы такой проблемы не возникнет.

Послесловие Вхождение в святая святых

Давайте закончим там, где мы начинали, глядя в прошлое с надеждой собрать подсказки о дороге, которая ждет нас впереди. В 387 году до нашей эры или около того, в оливковой роще в северных пригородах Афин Платон основал свою Академию, которую иногда называют первым крупным университетом в мире. Основанная им Академия просуществовала более 900 лет, вплоть до римского императора Юстиниана, который закрыл ее в 526 году нашей эры — срок жизни моей Гарвардской школы — 370 лет — кажется ничтожным в сравнении со школой Платона. По преданию, Платон поместил надпись над входом в школу, которая гласит: Да не войдет сюда не знающий геометрии.

Точная формулировка ставится под сомнение, так как я видел разные варианты этой надписи. Некоторые эксперты вообще отрицают ее существование: Пирс Бёрсилл-Холл, специалист по греческой математике в Кембриджском университете, предполагает, что надпись можно было легко прочитать и так: «Не парковаться перед этими воротами».[305] Однако у нас мало оснований критически относиться к надписи. «Такое утверждение было высказано одним из древних авторитетов, и нет причин думать, что оно недостоверно, — утверждает Дональд Зейл, специалист по Платону из Университета Род-Айленда. — Это имеет смысл для меня, учитывая, что Платон считал геометрию необходимой предпосылкой к изучению философии».