Теория катастроф - [12]

Все перестройки видимых контуров поверхностей в общих однопараметрических семействах исчерпываются первыми тремя изображенными на рис. 40, 1 — 3.

Метаморфозы каустик, движущихся в трехмерном пространстве, получаются сечениями больших (трехмерных) каустик в четырехмерном пространстве-времени трехмерными изохронами, Эти метаморфозы изображены на рис. 44 и 45.

Рис. 44. Типичные переустройки каустик в трехмерном пространстве: серия А

Одна из этих метаморфоз (1) описывает рождение новой каустики "из воздуха". Мы видим, что вновь родившаяся каустика имеет вид блюдца с заостренными краями. Через время t после рождения длина и ширина блюдца порядка √t, глубина порядка t, а толщина порядка t √t.

Рис. 45. Типичные перестройки каустик в трехмерном пространстве: серия D

Каустика может сделаться видимой, если на пути светового пучка имеется рассеивающая среда (пыль, туман). В. М, Закалюкин предположил, что каустики этого вида наблюдатели описывают как летающие блюдца.

Ребра возврата движущихся в трехмерном пространстве каустик заметают поверхность бикаустики. Особенности бикаустик общего положения, соответствующих различным метаморфозам рис. 44 и 45, изображены на рис. 46.

Рис. 46. Типичные особенности бикаустик

Как известно, лучи описывают распространение волн (скажем, световых) лишь в первом приближении; при более точном волновом описании появляется новый существенный параметр — длина волны (лучевое описание пригодно лишь в случае, когда эта длина мала по сравнению с характерным геометрическим размером системы).

Интенсивность света вблизи каустики больше, а вблизи ее особенностей еще больше. Коэффициент усиления оказывается пропорциональным l^-α, где l — длина волны, а показатель α — рациональное число, зависящее от характера особенности. Для простейших особенностей значения α таковы:

Каустика 1/6

Ребро возврата 1/4

Ласточкин хвост 3/10

Пирамида 1/3

Кошелек 1/3

Таким образом, ярче всего светятся точечные особенности тина пирамиды и кошелька. В случае движущейся каустики в отдельные моменты времени могут возникать более яркие особенности[4] А₅, D₅ (см. рис. 44, 45, α = 1/3 для А₅, 3/8 для D₅).

Если свет настолько интенсивен, что способен разрушать среду, то разрушение начнется в точках наибольшей яркости, поэтому показатель α определяет зависимость интенсивности разрушающего среду света от частоты.

Аналогичная описанной выше классификация особенностей каустик и волновых фронтов проведена в многомерных пространствах до размерности 10 (В. М, Закалюкин)

Предсказания теорией особенностей геометрии каустик, фронтов и их перестроек получили полное подтверждение в экспериментах, и сейчас даже кажется странным, почему эта теория не была построена лет двести назад. Дело, однако, в том, что соответствующий математический аппарат не тривиален[5] и связан с такими разделами математики, как классификации простых алгебр Ли и кристаллографических групп Кокстера, с теорией кос, теорией ветвления интегралов, зависящих от параметров, и т. д — он даже связан (довольно таинственным образом) с классификацией правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве.

Катастрофисты пытаются избежать серьезной математики. Например, в составленной К. Знманом в 1980 г. обширной библиографии по теории катастроф опущены ссылки на математические работы, вышедшие после 1976 г. Таким образом, катастрофисты продолжают попытки экспериментально нащупать ответы в задачах, давно решенных математиками. Например, в работе 1980 г. о ветровых полях и движении льда можно найти полуудачные попытки угадать список метаморфоз каустик в трехмерном пространстве (см. рис. 44, 45), опубликованный математиками еще в 1976 г.

9. Крупномасштабное распределение вещества во вселенной

В настоящее время распределение вещества во Вселенной крайне неоднородно (существуют планеты. Солнце, звезды, галактики, скопления галактик и т. д.). Современная астрофизика считает, что на ранних этапах развития Вселенной таких неоднородностей не было. Как же они образовались? Я. Б. Зельдович в 1970 г. предложил объяснение образования скоплений пылевидной материи, математически эквивалентное анализу возникновения особенностей каустик, начатому в 1963 г. Е. М. Лифшицем, Халатниковым и Судаковым.

Рассмотрим бесстолкновительную среду, т. е. среду настолько разреженную, что ее частицы проходят друг "сквозь" друга, не сталкиваясь. Предположим, для простоты, что частицы не взаимодействуют и движутся по инерции: через время t частица, находившаяся в точке х, перейдет в точку х + vt.

Предположим, что в начальный момент скорость частицы, находящейся в точке х, была v₀ (х); векторное поле v₀ называется начальным полем скоростей среды. С течением времени частицы будут двигаться и поле скоростей будет меняться (хотя скорость каждой частицы и не меняется, в следующий момент времени эта частица находится на новом месте).

На рис. 47 изображено начальное поле скоростей одномерной среды v₀ и получающиеся аз него через время t = 1, 2 и 3 ноля v₁, v₂, v₃. Мы видим, что, начиная с некоторого момента, более быстрые частицы начинают обгонять более медленные; в результате поле скоростей становится трехзначным: через одну точку пространства проходят с разными скоростями три потока частиц.