Теория катастроф - [11]

Рис. 36. Типичные перестройки волновых фронтов в трехмерном пространстве

Изучение метаморфоз волновых фронтов было одной из задач, из которых возникла теория катастроф, однако даже в случае трехмерного пространства катастрофисты не сумели с ней справиться; рис. 36 появился лишь в 1974 г., когда в теории особенностей были разработаны новые методы (основанные на теории кристаллографических групп симметрий).

Рис. 37. Каустика эллипса

Наряду с волновыми фронтами процесс распространения возмущений описывается при помощи систем лучей. Например, распространение возмущений внутрь эллипса можно описать при помощи семейства внутренних нормалей к эллипсу (рис. 37). Это семейство имеет огибающую. Огибающая семейства лучей называется каустикой (т. е. "жгущей", так как в этих местах свет концентрируется), Каустика хорошо видна на внутренней поверхности чашки, освещенной солнцем. Радуга на небе также объясняется каустикой системы лучей, прошедших с полным внутренним отражением через каплю воды (рис. 38).

Рис. 38. Теория радуги Декарта

Каустика эллиптического фронта имеет четыре точки возврата. Эти особенности устойчивы: близкий к эллипсу фронт определит каустику с такими же особенностями. Все более сложные особенности каустик при малом шевелении рассыпаются на стандартные особенности: точки возврата (локальное уравнение — х² = у³) и точки самопересечения.

Система нормалей к поверхности в трехмерном пространстве также имеет каустику. Эту каустику можно построить, отложив на каждой нормали к поверхности радиус кривизны (поверхность, вообще говоря, имеет в каждой точке два различных радиуса кривизны, так что на нормали получается две точки каустики).

Нелегко представить себе, как выглядят каустики даже простейших поверхностей, например трехосного эллипсоида.

Каустики общего положения в трехмерном пространстве имеют лишь стандартные особенности. Эти особенности называются "ласточкин хвост", "пирамида" и "кошелек" (см. рис. 39). Пирамида имеет три ребра возврата, касающиеся в вершине. Кошелек имеет одно ребро возврата и состоит из двух симметричных носов лодки, пересекающихся по двум линиям. Эти особенности устойчивы.

Рис. 39. Типичные особенности каустик в трехмерном пространстве

Все более сложные особенности каустик в трехмерном пространстве при малом шевелении рассыпаются на эти стандартные элементы.

Рассмотрим для одного и того же начального фронта (например, эллипса на плоскости) его каустику и фронты распространяющегося возмущения. Нетрудно понять, что особенности распространяющегося фронта скользят по каустике и заполняют ее.

Например, метаморфоза волнового фронта 5 на рис. 36 соответствует ласточкину хвосту на каустике. Ребро возврата движущегося в трехмерном пространстве волнового фронта заметает поверхность каустики (ласточкин хвост). Однако это разбиение каустики на кривые — не то разбиение поверхности ласточкиного хвоста на плоские кривые, с которым мы встречались выше (на рис. 35). Ребро возврата движущегося фронта не имеет самопересечений. Через точку линии самопересечения каустики ребро возврата движущегося фронта проходит два раза. Интервал времени между этими прохождениями очень мал (порядка ε^5/2, где ε — расстояние от вершины хвоста).

Точно так же при перестройках 3 и 4 (см. рис. 36) ребра возврата движущихся фронтов заметают пирамиду и кошелек.

Рис. 40. Типичные перестройки каустик на плоскости

Если исходный фронт движется (зависит от параметра), то его каустика также движется и при своем движении способна испытывать метаморфозы. Метаморфозы движущихся каустик на плоскости можно изучить, рассматривая сечения большой каустики в пространстве-времени, подобно тому, как мы это делали для фронтов. Полученные метаморфозы изображены на рис. 40. (Это метаморфозы плоских сечений ласточкиного хвоста, кошелька и пирамиды.) Все более сложные метаморфозы рассыпаются на последовательности перечисленных при малом шевелении однопараметрического семейства.

Рис. 41. Перестройка 'губы': рождение видимого контура

Обратим внимание па метаморфозу 1 рождения каустики "из воздуха", Новорожденная каустика имеет вид серпика с полукубическими остриями на концах ("губы", но терминологии Р. Тома). Аналогичным образом рождается "из воздуха" видимый контур поверхности при изменении направления проектирования (рис. 41), Глядя на бугор сверху, мы не видим контура. Когда луч зрения наклоняется, появляется вначале точечная особенность, которая затем быстро растет (пропорционально √t — t₀, где t₀ — момент появления особенности) и имеет вид "губ". Описанную здесь перестройку можно реализовать как перестройку плоского сечения поверхности с ребром возврата при поступательном движении плоскости (в момент перестройки плоскость касается ребра возврата (рис. 42)).

Рис. 42. Перестройка плоского сечения поверхности с ребром возврата

Метаморфозу 3 также можно увидеть на видимом контуре, для этого достаточно посмотреть на двугорбого верблюда, проходя мимо него (рис. 43). В момент метаморфозы профиль имеет такую же особенность, как кривая у³ = х⁴.

Рис. 43. Перестройка 'верблюд'