Система Диофанта - [8]
x>2 - (i+j)*x + i*j = 0
преобразуем
x>2 - ix - jx + ij = 0
= Ну, и чего получилось?
— Фокус, покус! Ведь i и j это корни уравнения. Подставь-ка вместо x - i или j.
= Да. Действительно забавно, простейшей алгеброй все доказано.
— Обрати внимание, нигде не сказано, что j и i — целые, это могут быть любые числа и не только числа.
— Но давай пойдем дальше. Есть разные способы решения КУ, в том числе графические.
= Да, читал я. Не точно, не всегда достижимо, только, что наглядно.
— Вот наглядность мне сейчас и нужна, да и еще кое что. Рассмотрим только один способ.
Как видишь, строится парабола и места пересечения с осью абсцисс (y = 0) и будут корнями. Чтобы построить параболу ax>2 — bx + c = 0, для начала нужно знать координаты вершины
= Что-то подозрительно знакома мордочка у y>0.
— Дело упрощается тем, что в нашем случае a = 1.
— Смотри, у нас есть координата x>0 вершины параболы, она простейша [ -b/2 ] корни КУ находятся на одинаковом расстоянии от этого числа. Вообще x>0 очень хитрое число, ЛЮБЫЕ два числа отстоящие от него на одинаковые расстояния, дают в сумме b.
Остается только подобрать два симметричных относительно x>0 числа дающих в произведении c.
= Т.е. это другой способ, и про первый можно забыть.
— Забывать ничего не будем! Первый метод «соМножителей» если так сойдутся звезды позволит там «молниеносно» решить КУ, второй «Слагаемых» гарантирует успех, но немного медленнее.
— Не забывай о коварстве составителей. Если y>0 окажется положительной, то парабола не пересечет ось абсцисс, т.е корней не будет...
= То-то я вижу, что-то знакомое — дискриминант.
— Не совсем, но родственник дискриминанта пусть это будет Д ( Д = — дискриминант ).
Давай спланируем алгоритм действий.
1. оцениваем знак выражения 4c — b>2, ежели минус идем далее (этот пункт можно удалить, если мы решаем подготовленные Питоном КУ).
2. оцениваем знаки корней по известной нам таблице.
3. если удается, находим корни в соМножителях
4. ну а если дошли до этого пункта, делаем глубокомысленный вид (тренируем актерское мастерство) и начинаем перебор.
= Например?
— Хорошо, поехали:
x>2 - 22x - 75 = 0
1. [- 75] — ясно что Д отрицателен
2. [ - - ] - один корень отрицателен, но положительный больше
3. [ 75 ] допустим нам лень искать делители, но пятерка там точно есть.
4. [x>0 = 11] обозначим смещение корней относительно точки x>0 как z. Допустим отрицательный корень [ -5 ] тогда z = 16 и следовательно x>2 = 11 + 16 = 27
= Все отлично!
— Погоди, что-то тут не так, 27 * 5 = 135, не сходится. Т.е. [-5] слишком далеко ушло в минус. Давай попробуем предыдущее простое число [-3] тогда z = 14 и следовательно x>2 = 11 + 14 = 25 и 25 * 3 = 75. Вот теперь — все отлично.
= А можно было сделать проще, без всяких z. Когда предположен один корень второй просто вычисляется x>2 = b — x>1 т.е. 22 - (-3) = 25.
— Ты мыслишь, значит ты существуешь!!!
— Повторю свое заклинание «только постоянные экзерсисы приведут тебя к успеху».
= Я только не совсем понял для чего нам x>0.
— Ну скажем, это якорь на который мы ориентируемся при поиске корня. Для поиска можно воспользоваться двоичным поиском.
= А это что такое?
— Лучше показать это на примере.
Я задумываю число больше 0 и меньше 100 (ну вот записываю >«задумано 43» ). Ты говоришь предположение, в ответ я могу дать 3 возможных ответа «задуманное больше», «задуманное меньше» и «Поздравляю».
= 99?
— Задуманное меньше.
= 98?
— Задуманное меньше. Но прервем игру. Выбранная тобой стратегия не рациональна. Если задумано 1, то тебе придется задать 99 вопросов.
= Так, что надеясь на удачу выбирать случайное число.
— Не будем вручать удачу случаю. Действуй так в качестве запроса выбирай середину исследуемого диапазона и при каждой итерации этот диапазон будет в два раза уменьшаться. Попробуем сначала?
= 1. Не совсем понял, но 50.
— Задуманное меньше.
= 2. 25?
— Задуманное больше.
= 3. Догадался, остался диапазон от 49 до 26. Тогда 38?
— Задуманное больше.
= 4. 44?
— Задуманное меньше.
= 5. 41?
— Задуманное больше. Надеюсь ты все понял, и следующим вопросом выиграешь.
= "Ацнун цванцих.." [Главное, системный подход] - подумал принц целуя тысяча двадцать третью лягушку.
— Завтра организуй в классе соревнование по скорости угадывания. Не гарантирую 100% выигрыш, но в большинстве случаев — сработает.
— Но вернемся к тренировке:
x>2 — 1,6x + 0,63 = 0
1. [4* 0,63 — 1,6>2 = -0,04] — Д отрицателен
2. [ - + ] - оба корня положительны
3. [ 0,63 ] делители искать не будем.
4. [x>0 = 0,8] меньший корень лежит в диапазоне от 0 до 0,8
. . . . 1. x>1 = 0,4 x>2 = 1,6 — 0,4 = 1,2 0,4*1,2=0,48
да, тяжелый случай; 0,48 < 0,63 и это значит, что корни взяты слишком далеко от x>0
. . . . 2. x>1 = 0,6 x>2 = 1,6 — 0,6 = 1 0,6*1=0,6
0,6 < 0,63>обнадеживает, что мы идем правильным путем.
. . . . 3. x>1 = 0,7 x>2 = 1,6 — 0,7 = 0,9 0,9*0,7=0,63
Дело сделано! В уме такое решить затруднительно, но тренируйся.
— Так дело не пойдет. Не готовы мы еще решать ЛЮБЫЕ задачи, а значит опять подготовим НАШИ КУ
изменяем функцию генерации числа
4 | def gen_number(k):
5 | . . prime_number =(1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17)
