Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - [6]

проведены две взаимно перпендикулярные секущие ABD и ACE к окружности с центром O. Площади треугольников ABC и АDЕ относятся как m : n. Определите величины дуг BC и DЕ, каждая из которых меньше полуокружности.

1.41. Из точки А, лежащей на окружности радиуса r, проведены две хорды AC и AB. Эти хорды лежат по одну сторону от диаметра окружности, проходящего через точку А. Длина большей хорды равна b, а угол ВАС равен α. Найдите радиус окружности, которая касается хорд AB и AC и дуги BC.

1.42. Даны две концентрические окружности радиусов R и r (R > r). Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на одной окружности, а две другие — на другой. При каком соотношении между радиусами данных окружностей решение задачи возможно и при каком соотношении задача имеет единственное решение?

1.43. В сегмент, дуга которого содержит 120°, вписан квадрат. Определите сторону квадрата, если радиус R круга равен 2 + √19 .

1.44. У равнобочной трапеции с бо́льшим основанием а и острым углом α высота вдвое меньше меньшего основания. На меньшем основании, как на диаметре, построена окружность. Найдите радиус окружности, касающейся построенной окружности, большего основания и боковой стороны.

1.45.AB и CD — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности S₁. С центром в точке D радиусом BD построена окружность S₂. Из точки D проведены две прямые, пересекающие окружность S₁ в точках P и Q и дугу AB окружности S₂, заключенную внутри окружности S₁, в точках M и N. Точки P и Q спроецированы на AB; P₁ и Q₁ соответственно — их проекции. Докажите, что фигура RMNQ равновелика треугольнику P₁Q₁D.

1.46. Через точку P, лежащую вне окружности с центром O и радиусом R, проходят две взаимно перпендикулярные секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках А и С (точка С лежит между P и А), а вторая секущая — в точках В и D (D лежит между P и В). Пусть Р₁ — проекция P на AB, а M — одна из точек пересечения AB с окружностью, центр которой Р₁, а радиус Р₁О. Найдите длину МР.

1.47. Найдите угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, если точка их пересечения удалена от центра окружности на 3/5 ее радиуса и делит одну хорду пополам, а другую — в отношении 4 : 9.

1.48. Дан сектор ОАВ (O — центр) с центральным углом в 90° и радиусом R. На отрезке ОВ, как на диаметре, построена полуокружность, лежащая внутри сектора. Найдите радиус окружности, касающейся этой полуокружности и отрезков ОА и AB.

1.49. В круге проведена хорда AB, пересекающая диаметр DE круга в точке M и наклоненная к нему под углом φ. Дано, что

, где p и q — известные числа. Из точки В проведена хорда BC, перпендикулярная к диаметру DE, и точка С соединена с точкой А. Найдите площадь треугольника ABC, если радиус круга равен R.

1.50. Площадь треугольника равна S, а длины его сторон образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна d. Найдите радиус описанной окружности.

1.51. В треугольнике ABC точка P лежит на стороне AB и AB = 2АР, точка Q — на стороне BC и BC = 4BQ, точка R — на стороне AC и AC = 5АВ. Отрезки PQ и BR пересекаются в точке T. В каком отношении точка T делит отрезок PQ?

1.52. В треугольнике PQR на стороне PQ взята точка N а на стороне РR — точка L. Отрезки QL и RN пересекаются в точке T. Дано QN = RL, QT : TL = m : n. Найдите PN : PR.

1.53. Две окружности с центрами О₁ и О₂ пересекаются в точках M и N. Точка О₂ лежит на первой окружности. Найдите периметр фигуры, являющейся пересечением данных окружностей, если

 .

1.54. Найдите наибольшее возможное значение площади четырехугольника ABCD, если он вписан в окружность радиусом 1 и угол при вершине В меньше 45°.

Глава 2 Построения на плоскости

2.1. Пункты А и В находятся по разные стороны от реки, ширина которой постоянна, а берега прямолинейны. В каком месте надо возвести мост через реку, чтобы путь от одного пункта в другой был кратчайшим?

2.2. Постройте равносторонний треугольник ABC, если дана его сторона а и известно, что его стороны AB, AC и биссектриса AD (или их продолжения) проходят соответственно через три данные точки M, N, P, лежащие на одной прямой.

2.3. Постройте треугольник по стороне а, высоте h_а и разности углов В − С = φ.

2.4. Постройте треугольник ABC по стороне b, радиусу R описанной окружности и медиане m_с.

2.5. Постройте треугольник, зная центры его вписанной, описанной и вневписанной окружностей.

2.6. На сторонах AB и BC треугольника ABC или на их продолжениях постройте соответственно точки D и E так, чтобы AD = DE = EC.

2.7. Через точку, лежащую внутри угла, проведите прямую так, чтобы отсекаемый ею треугольник был наименьшей площади.

2.8. Постройте треугольник по А, h_а и 2p.

2.9. Внутри данного остроугольного треугольника ABC найдите точку P, сумма расстояний которой от вершин А, В и С была бы наименьшей.

2.10. Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе с и биссектрисе l прямого угла.

2.11. Постройте четырехугольник, если известны три его стороны и два внутренних острых угла, прилежащих к четвертой стороне.

2.12. Из данной точки M, лежащей вне круга, проведите секущую так, чтобы внешняя ее часть равнялась внутренней.