Сборник № 11. Теория познания и точные науки - [26]

К сожалению, у нас вновь возникают сомнения в ценности нашей системы, когда мы ставим вопрос о ее правильности и логической допустимости. Уже вопрос о правильности ее дает повод к основательным сомнениям. У нас вовсе нет уверенности в согласии нашей системы с природой, хотя бы уже потому, что принцип Гамильтона может быть ведь выведен и из признанных основ механики Ньютона. Нам необходимо иметь в виду, что вывод этот только правилен, когда правильны известные предпосылки, и что, с другой стороны, наша система претендует на правильное описание не только некоторых движений природы, а на описание всех ее движений. Нам остается поэтому исследовать, обладают ли, действительно, те особые предпосылки такой же общезначимостью, как и законы Ньютона, и одного единственно примера природы, им противоречащего, было бы достаточно, чтобы доказать неправильность системы как таковой, хотя бы он ничуть не колебал правильности принципа Гамильтона как общего положения. Здесь возникает сомнение не столько в том, охватывает ли наша картина механики все многообразие сил, сколько в том, охватывает ли она, действительно, все многообразие неподвижных связей, которые могут быть между телами природы. Применение принципа Гамильтона к какой-нибудь материальной системе вовсе не исключает того, чтобы между выбранными координатами ее существовали неподвижные связи, но оно требует, чтобы эти связи могли быть выражены математически в виде конечных уравнений между координатами и оно не допускает появления таких связей, которые математически могут быть выражены только в дифференциальных уравнениях. Но сама природа не только исключает, по-видимому, связи последнего рода: они бывают, например, тогда, когда тела трех измерений катятся своими поверхностями друг вдоль друга без скольжения. В этом случае, который часто приходится наблюдать, положение двух тел взаимно ограничено лишь постольку, поскольку они должны иметь общей всегда одну точку поверхности, но свобода движения их более ничем не ограничена. Поэтому здесь может быть выведено больше уравнений между изменениями координат, чем между самими координатами, и среди первых уравнений должен быть, по меньшей мере, одно, которое математически представляет собой дифференциальное уравнение, не поддающееся интегрированию. Вот к подобного рода случаям принцип Гамильтона не может иметь применения или, точнее выражаясь, математически возможное применение принципа приводит к физически ложным результатам. Ограничим наше рассмотрение простым случаем шара, катящегося без скольжения по твердой горизонтальной плоскости, следуя одной своей инерции. Не трудно здесь одними рассуждениями без всяких вычислений обозреть не только движения, которые шар, действительно, может выполнить, но и те движения, которые соответствовали бы принципу Гамильтона и должны были бы быть таковы, что при постоянной живой силе шар достигал бы данных целей в кратчайшее время. Можно, поэтому, и без вычислений убедиться в том, что оба рода движений обнаруживают весьма различные особенности. Если мы и выбираем начальное и конечное положение шара произвольно, то есть же, очевидно, всегда один определенный переход из одного положения в другое, при котором время перехода, а следовательно, и гамильтоновый интеграл становится минимумом. В действительности же вовсе не возможен естественный переход из одного любого положения в другое без содействия сил, даже когда выбор начальной скорости остается совершенно свободным. Но даже тогда, когда мы выбираем начальное и конечное положение таким образом, что естественное свободное движение между ними возможно, то это все же не то движение, которое соответствует минимуму времени. При некоторых начальных и конечных положениях разница может быть весьма заметна. В этом случае шар, движущийся в соответствии с принципом Гамильтона, был бы весьма похож на живое существо, которое сознательно движется к определенному положению, между тем как рядом с ним шар, следующий законам природы, производил бы впечатление мертвой равномерно катящейся массы. Не помогло бы делу, если бы мы вместо принципа Гамильтона стали исходить из принципа наименьших действий или другого какого-нибудь интегрального принципа, потому что все эти принципы мало разнятся между собой по значению, а в данном отношении между ними никакой разницы нет. Впрочем, заранее намечен путь, на котором мы можем защищать систему и доказывать неосновательность упрека в неправильности ее. Нам приходится отрицать, чтобы в природе, действительно, были возможны неподвижные связи приведенного рода. Нам остается доказывать, что всякое так называемое качение без скольжения в действительности есть качение с малым скольжением, т. е. процесс, при котором есть трение. Нам приходится ссылаться на то, что вообще процессы в трущихся поверхностях принадлежат к таким процессам, которые не могут быть еще приведены к ясно понятым причинам, а силы, действующие здесь, устанавливаются только эмпирически. Поэтому и вся проблема принадлежит к тем, обсуждение которых в настоящее время еще невозможно без пользования понятием силы, а следовательно, и без помощи обыкновенных методов механики. Убедительной такая защита, конечно, быть не может. Качение без скольжения не противоречит ни принципу энергии, ни какому-либо другому общепризнанному принципу физики. Процесс осуществляется в видимом мире со столь большим приближением, что строились даже инерционные машины на основе допущения возможности такого качения. Вряд ли поэтому у нас есть право исключать наступление этого процесса как невозможное, и всего менее у нас есть право исключать его из механики неизвестных еще систем, какими являются атомы или части эфира. Но если мы даже признаем, что эти связи осуществляются в природе только приблизительно, то и тогда недостаточность принципа Гамильтона создает для нас затруднения. От всякого основного закона нашей механической системы мы должны требовать, чтобы в применении к приблизительно правильным условиям они всегда давали еще приблизительно верные, а не совершенно неверные результаты. В самом деле, так как все неподвижные связи, которые мы заимствуем из природы и вводим в наши вычисления, только приблизительно соответствуют действительности, то иначе мы совершенно знать не будем, при каких условиях закон вообще еще применим и при каких – нет. Не будем, однако, совершенно отвергать предложенную защиту и сделаем уступку, согласившись с тем, что изложенные здесь сомнения касаются не правильности, а только целесообразности системы, так что вытекающие отсюда недостатки уравновешиваются преимуществами.