Разум и природа - [29]
Но значит ли это, что язык как таковой не содержит информации?
Даже если в результате этого небольшого математического фокуса с математической точки зрения ничего не добавилось, я все же убежден, что от знакомства с ним школьник сможет кое-чему научиться. Это вклад в дидактический метод. Открытие (если это открытие), что два языка (алгебра и геометрия) могут переводиться с одного на другой, само по себе является откровением.
Может быть, следующий математический пример поможет читателю лучше понять, что достигается при использовании двух языков. [Об этой для большинства людей неизвестной закономерности я узнал благодаря Гертруде Гендрикс: Gertrude Hendrix, «Learning by Discovery,» The Mathematics Teacher 54 (May 1961): 290–299. (Гертруда Генрикс, «Обучение через открытие», Учитель математики 54 (Май 1961): 290–299.)]
Спросите своих друзей «Чему равна сумма первых десяти нечетных чисел?»
Вероятно, они скажут, что они этого не знают, или начнут складывать ряд чисел:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19.
Покажите им, что:
Сумма первого нечетного числа равна 1.
Сумма первых двух нечетных чисел равна 4.
Сумма первых трех нечетных чисел равна 9.
Сумма первых четырех нечетных чисел равна 16.
Сумма первых пяти нечетных чисел равна 25
И так далее.
Довольно скоро ваши друзья скажут что-нибудь вроде «Тогда сумма первых десяти нечетных чисел должна быть равна 100». Они научились этому трюку, позволяющему складывать последовательности нечетных чисел.
Но попросите их объяснить, почему этот трюк обязательно должен работать, и средний человек, если он не математик, не сможет ответить. (А наше начальное образование таково, что многие не будут даже знать с чего начать, чтобы получить ответ).
В данном случае нужно было заметить различие между порядковым номером данного нечетного числа и его количественным значением, то есть различие в логическом типе! Мы привыкли к тому, что название чисел всегда совпадает с их численным значением [Иначе говоря, можно сказать, что число чисел во множестве — это не то же самое, что сумма чисел в этом множестве. Так или иначе, здесь мы встречаемся с разными логическими типами.]. Но в данном случае, имя — это, конечно, не то же самое, что объект, который оно обозначает.
Сумма первых трех нечетных чисел равна 9, то есть квадрату порядкового имени наибольшего числа в последовательности, которую необходимо просуммировать (в нашем случае, порядковое имя 5 — «3»). Или, если хотите, это квадрат числа чисел в этой последовательности. Вот словесное выражение описанного трюка.
Чтобы доказать, что этот трюк будет работать, мы должны показать, что разность между двумя последовательными суммами нечетных чисел всегда равна разности между квадратами их порядковых имен.
Например, сумма первых пяти нечетных чисел минус сумма первых четырех нечетных чисел должна равняться 5>2 — 4>2. В тоже время можно заметить, что разность между этими двумя суммами должна быть последним нечетным числом, добавленным к этому множеству. Иначе говоря, последнее добавленное число должно быть равно разности между квадратами.
Рассмотрим этот вопрос на зрительном языке. Мы должны показать, что при добавлении следующего нечетного числа к сумме предыдущих нечетных чисел эта сумма всегда возрастет ровно настолько, чтобы стать равной квадрату порядкового имени этого нечетного числа.
Представим первое нечетное число (1) одним квадратом:
Представим второе нечетное число (3) тремя квадратами:
Сложим эти два числа друг с другом:
Представим третье нечетное число (5) пятью квадратами:
Добавим это к предыдущей фигуре:
То есть, 4 + 5 = 9.
И так далее. Зрительное представление позволяет довольно легко объединить порядковые числа, количественные числа и закономерности суммирования рядов.
Итак, мы увидели, что использование геометрической метафоры оказалось весьма полезным для понимания того, как механический трюк превращается в закономерность. Что более важно, школьник осознал разницу между применением трюка и пониманием неизбежной истины, стоящей за этим трюком. И что еще более важно, школьник получил (может быть, не осознавая этого) опыт в переходе от рассуждений внутри арифметики к рассуждениям по поводу арифметики. Не числа, а число чисел.
Именно тогда, по словам Уоллеса Стивенса,
Виноград показался сочнее.
Лиса выскочила из норы.
7. СЛУЧАЙ ДВУХ ПОЛОВ
Однажды фон Нейман полушутя заметил, что для воспроизводства машин необходимое условие состояло бы в том, чтобы две машины действовали совместно.
Деление, сопровождаемое самовоспроизводством, безусловно является одним из основных признаков жизни, независимо от того, приводит ли это деление к размножению или росту, и биохимики уже знают в общих чертах процессы воспроизводства ДНК. Но затем начинается дифференциация — будь то (несомненно) случайное производство эволюционного разнообразия, или упорядоченная дифференциация в эмбриологии. Деление, по-видимому, должно чередоваться со слиянием — это общая истина, иллюстрирующая принцип обработки информации, которым мы теперь занимаемся, а именно: два источника информации (часто относящиеся к языкам разного рода) несравненно лучше, чем один.
