Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - [8]
Напишем программу для построения магических квадратов размерности N. Первый подход будет «в лоб», напрямую. Создадим массив, содержащий все числа от 1 до N>2 и получим все возможные перестановки этого массива. Их число довольно-таки велико, и составляет 1 * 2 * .. * N = N! вариантов. Также для каждого массива необходимо проверить, является ли он «магическим», т. е. выполняется ли требование равенства сумм.
Для получения всех перестановок воспользуемся алгоритмом, описанным здесь — https://prog-cpp.ru/permutation/.
Код программы приведен ниже:
>def swap(arr, i, j):
> arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
>def next_set(arr, n):
> j = n - 2
> while j != -1 and arr[j] >= arr[j + 1]: j -= 1
> if j == -1:
> return False
> k = n - 1
> while arr[j] >= arr[k]: k -= 1
> swap(arr, j, k)
> l = j + 1
> r = n – 1
> while l < r:
> swap(arr, l, r)
> l += 1
> r -= 1
> return True
>def is_magic(arr, n):
> for i in range(0, n):
> sum1 = 0
> sum2 = 0
> sum3 = 0
> sum4 = 0
> for j in range(0, n):
> sum1 += arr[i * n + j]
> sum2 += arr[j * n + i]
> sum3 += arr[j * n + j]
> sum4 += arr[(n – j - 1) * n + j]
> if sum1 != sum2 or sum1 != sum3 or sum1 != sum4 or sum2 != sum3 or sum2 != sum4 or sum3 != sum4:
> return False
>return True
>def show_squares(n):
> N = n * n
> arr = [i + 1 for i in range(N)]
> cnt = 0
> while next_set(arr, N):
> if is_magic(arr, n):
> print(arr)
> cnt += 1
> return cnt
># Требуемая размерность
>cnt = show_squares(3)
>print("Число вариантов:", cnt)
Программа выдала 8 вариантов для N = 3, время вычисления составило 2 секунды:
| [2, 7, 6, 9, 5, 1, 4, 3, 8] | [6, 1, 8, 7, 5, 3, 2, 9, 4] |
| [2, 9, 4, 7, 5, 3, 6, 1, 8] | [6, 7, 2, 1, 5, 9, 8, 3, 4] |
| [4, 3, 8, 9, 5, 1, 2, 7, 6] | [8, 1, 6, 3, 5, 7, 4, 9, 2] |
| [4, 9, 2, 3, 5, 7, 8, 1, 6] | [8, 3, 4, 1, 5, 9, 6, 7, 2] |
Действительно, как известно, существует только 1 магический квадрат 3x3:
Остальные являются лишь его поворотами или отражениями (очевидно что при повороте квадрата его свойства не изменятся).
Теперь попробуем вывести квадраты 4х4. Запускаем программу… и ничего не видим. Как было сказано выше, число вариантов перебора для 16 цифр равняется 16! или 20922789888000 вариантов. На моем компьютере полный перебор такого количества занял бы 1089 дней!
Однако посмотрим на магический квадрат еще раз:
Суммы всех элементов по горизонтали и вертикали равны. Из этого мы легко можем записать равенство его членов:
x11 + x12 + x13 + x14 = x21 + x22 + x23 + x24 x11 + x12 + x13 + x14 = x14 + x24 + x34 + x44 x11 + x12 + x13 + x14 = x13 + x23 + x33 + x43 x11 + x12 + x13 + x14 = x12 + x22 + x32 + x42 x11 + x12 + x13 + x14 = x11 + x21 + x33 + x44 x11 + x12 + x13 + x14 = x31 + x32 + x33 + x34
И наконец, общая сумма: т. к. квадрат заполнен числами 1..16, то если сложить все 4 строки квадрата, то получаем 4S = 1 + .. + 16 = 136, т. е. S = 34 (что соответствует приведенной в начале главы формуле).
Это значит, что мы легко можем выразить последние элементы через предыдущие:
x14 = S - x11 - x12 - x13
x24 = S - x21 - x22 - x23
x34 = S - x31 - x32 - x33
x41 = S - x11 - x21 - x31
x42 = S - x12 - x22 - x32
x43 = S - x13 - x23 - x33
x44 = S + x14 - x14 - x24 - x34
Что это дает? Очень многое. Вместо перебора 16 вариантов суммарным количеством 16! = 20922789888000 мы должны перебрать лишь 9 вариантов, что дает 9! = 362880 вариантов, т. е. в 57657600 раз меньше! Как нетрудно догадаться, мы фактически выразили крайние строки квадрата через соседние, т. е. уменьшили размерность поиска с 4х4 до 3х3. Это же правило будет действовать и для квадратов большей диагонали.
Обновленная программа выглядит более громоздко (в ней также добавлены проверки на ненулевые значения и проверки на уникальность элементов), зато расчет происходит в разы быстрее. Здесь также используется возможность работы со множествами в языке Python, что легко позволяет делать перебор нужных цифр в цикле:
set(range(1, 16 + 1)) - множество чисел [1..16]
set(range(1, 16 + 1)) - set([x11]) - множество чисел [1..16] за исключением x11.
Также добавлена простая проверка на минимальность суммы: очевидно, что сумма всех элементов не может быть меньше чем 16 + 1 + 2 + 3 = 22.
>digits = set(range(1,16+1))
>cnt = 0
>for x11 in digits:
> for x12 in digits - set([x11]):
> for x13 in digits - set([x11, x12]):
> for x14 in digits - set([x11, x12, x13]):
> s = x11 + x12 + x13 + x14
> if s < 22: continue
> for x21 in digits - set([x11, x12, x13, x14]):
> for x22 in digits - set([x11, x12, x13, x14, x21]):
> for x23 in digits - set([x11, x12, x13, x14, x21, x22]):
> x24 = s - x21 - x22 - x23
> if x24 <= 0 or x24 in [x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23]: continue
