Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - [9]
> for x31 in digits - set([x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24]):
> for x32 in digits - set([x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31]):
> for x33 in digits - set([x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32]):
> x34 = s - x31 - x32 - x33
> x41 = s - x11 - x21 - x31
> x42 = s - x12 - x22 - x32
> x43 = s - x13 - x23 - x33
> x44 = s - x14 - x24 - x34
> if x34 <= 0 or x41 <= 0 or x42 <= 0 or x43 <= 0 or x44 <= 0: continue
> data = [x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34, x41, x42, x43, x44]
> if len(data) != len(set(data)): continue
> if is_magic(data, 4):
> print data
> cnt += 1
>print cnt
В результате, программа проработала всего лишь около часа (вместо 3-х лет!), всего было выведено 7040 квадратов размерностью 4х4. Разумеется, большинство из них являются поворотами или отражениями друг друга, было доказано что уникальных квадратов всего 880.
Вспомним магический квадрат Дюрера, в нижнем его столбце есть цифры 1514, соответствующие году создания гравюры. С помощью программы можно решить еще одну задачу: посмотреть сколько всего возможно квадратов с такими цифрами. Здесь число вариантов перебора еще меньше, т. к. еще 2 цифры фиксированы. Оказывается, помимо «авторского», возможны всего 32 варианта, например:
| 1 15 14 4 | 2 15 14 3 |
| 5 11 8 10 | 5 10 7 12 |
| 12 6 9 7 | 11 8 9 6 |
| 16 2 3 13 | 16 1 4 13 |
Интересно, что верхний ряд помимо цифр 15 и 14 может содержать либо 1, 4 либо 2, 3, других вариантов нет. Разные варианты содержат лишь перестановки этих цифр.
Если же говорить о квадратах большей размерности, то число вариантов перебора для них получается слишком большим. Так для квадрата 5х5, даже если выразить крайние члены через соседние, получаем 4х4 остающихся клеток, что даст нам те же самые 16! вариантов перебора. Разумеется, в реальности такие квадраты не строили методом полного перебора, существует множество алгоритмов их построения, например метод Франклина, Россера, Рауз-Болла, желающие могут поискать их самостоятельно. В архиве с книгой приложен файл «07 - magic5.cpp» для расчета квадратов 5х5 на С++, но автору так и не хватило терпения дождаться результатов.
И наконец, можно вспомнить так называемые «пандиагональные» магические квадраты. Это квадраты, в которых учитываются суммы также «косых» диагоналей, которые получаются если вырезать квадрат из бумаги и склеить его в тор. Желающие могут добавить в программу вывод таких квадратов самостоятельно.
8. Магический квадрат из простых чисел
Существует еще одна разновидность магического квадрата — составленного из простых чисел. Пример такого квадрата показан на рисунке:
| 29 | 131 | 107 |
| 167 | 89 | 11 |
| 71 | 47 | 149 |
Приведенную выше программу легко модифицировать для такого расчета: достаточно лишь заменить множество >digits = set(range(1, 16 + 1)) на другое, содержащее простые числа.
Для примера будем искать квадраты среди трехзначных простых чисел от 101 до 491. Заменим в предыдущей версии программы строку >digits = set([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) на
>primes = [ 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163,
> 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251,
> 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349,
> 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443,
> 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491 ]
>digits = set(primes)
Таких квадратов нашлось 40, например:
| 233 | 167 | 389 |
| 419 | 263 | 107 |
| 137 | 359 | 293 |
Сумма чисел равна вполне красивому числу 789.
Т. к. число вариантов перебора больше, программа работает дольше. Время поиска составило 724 с для Python-версии и 316 c для программы на C++.
T = 316.00s = C++
T = 724.4s = Python
Если же рассматривать минимально возможный квадрат из простых чисел, то его сумма равняется тоже вполне «красивому» числу 111:
| 7 | 61 | 43 |
| 73 | 37 | 1 |
| 31 | 13 | 67 |
Примером квадрата 4х4 может быть квадрат с также «красивой» суммой 222:
| 97 | 41 | 73 | 11 |
| 17 | 47 | 83 | 75 |
| 59 | 79 | 13 | 71 |
| 49 | 55 | 53 | 65 |
9. Числа Фибоначчи
Возьмем 2 числа: 0 и 1. Следующее число рассчитаем как сумму предыдущих чисел, затем повторим процесс.
Мы получили последовательность, известную как числа Фибоначчи:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ...
Эта последовательность была названа в честь итальянского математика 12 века Леонардо Фибоначчи. Фибоначчи рассматривал задачу роста популяции кроликов. Если предположить, что новорожденная пара кроликов 1 месяц растет, через месяц начинает спариваться, и затем через каждый месяц дает потомство, то количество пар кроликов несложно подсчитать:
Как можно видеть, число пар образует как раз те самые числа Фибоначчи. Сама последовательность Фибоначчи кажется простой. Но чем она интересна? Пример с кроликами не случаен — эти числа действительно описывают множество природных закономерностей:
