Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями - [24]
Таким образом, мы выбираем максимальное число третье с конца, если его значение превосходит 0.6899.
Вообще, если остается r билетов и появилось максимальное число, то мы выберем его, если оно превосходит «пороговое» значение x, вычисляемое из уравнения
Для нахождения x при небольших значениях r это уравнение можно решать численно, используя, например, таблицы вероятностей биномиального закона. В нижеследующей таблице «пороговых» уровней приведены некоторые из них.
Чтобы найти приближенное решение, заметим, что 1 − x уменьшается по мере возрастания r, и главный вклад в правую часть уравнения (1) дается первым членом. Таким образом,
x>r ≈ r∙x>r − 1∙(1 − x), или x ≈ r/(r + 1).
С другой стороны, деля обе части уравнения (1) на x>r и полагая z = (1 − x)/x, получаем
откуда определяется z.
Наконец, так как приближенно z = 1/r, положим
где α(r) — функция, близкая к постоянной. Так,
α(1) = 1
α(2) = 0.8990,
α(3) = 0.8668,
α(4) = 0.8509,
α(5) = 0.8415.
Полагая в (2) z = α(r)/r и устремляя r к бесконечности, получаем
Здесь α — предельное значение α(r), α = 0.8043.Хотя существуют и лучшие приближения для α(r), заменим α(r) на α. Тогда
Эта формула для x дает результаты, приведенные в последнем столбце таблицы.
| Число оставшихся испытаний | Решение уравнения (1) | r/(r + a) | Число оставшихся испытаний | Решение уравнения (1) | r/(r + a) |
| 1 | 0.5000 | 0.5542 | 9 | 0.9160 | 0.9180 |
| 2 | 0.6899 | 0.7132 | 10 | 0.9240 | 0.9256 |
| 3 | 0.7758 | 0.7886 | 11 | 0.9305 | 0.9319 |
| 4 | 0.8246 | 0.8326 | 12 | 0.9361 | 0.9372 |
| 5 | 0.9856 | 0.8614 | 13 | 0.9408 | 0.9417 |
| 6 | 0.8778 | 0.8818 | 14 | 0.9448 | 0.9457 |
| 7 | 0.8939 | 0.8969 | 15 | 0.9484 | 0.9491 |
| 8 | 0.9063 | 0.9086 |
Поскольку в данной игре больше информации, чем в игре из предыдущей задачи, то шансы на выигрыш также больше. Если число билетов равно 2, то игроку следует выбрать первое число, если оно больше 1/2, а в противном случае избрать второе. Вероятность правильного решения в этом случае равна 3/4. Увеличение числа билетов от 1 до 2 значительно уменьшило вероятность выигрыша. Некоторые геометрические соображения, которые мы не будем здесь приводить, показывают, что для n = 3 вероятность правильного выбора равна приблизительно 0.684. Для больших n эта вероятность равняется приближенно 0.580.
49. Решение задачи об удвоении точности
Да. Пусть A — длина длинного стержня, а B — длина короткого. Можно положить эти стержни рядом и измерить разность длин A − B, а затем приложить их один к другому и измерить сумму длин A + B. Пусть D и S обозначают наблюденные длины A − B и A + B соответственно. Тогда оценка для A есть 1/2(S + D) и оценка для B есть 1/2(S − D). Далее, D = A − B + d, S = A + B + s, где d и s — случайные ошибки. Следовательно,
В среднем ошибка 1/2(d + s) будет нулевой, поскольку d и s имеют средние нуль. Дисперсия оценки A есть дисперсия
Это значение совпадает со значением для дисперсии среднего двух независимых наблюдении. Таким образом, оба наблюдения внесли полный вклад в измерение A. Точно так же дисперсия оценки B равняется σ²/4. Следовательно, делая два измерения — одно для разности, другое для суммы — мы получаем оценки, точность которых равна точности при четырех рениях, по два на каждый стержень в отдельности.
Для получения столь хороших результатов мы должны как можно точнее соединить концы стержней. Если этого сделать нельзя, то можно считать, что в результаты измерений входит ошибка, связанная с неидеальным совпадением концов стержня. Если эта случайная ошибка имеет штандарт σ√2, то одному измерению суммы или разности отвечает штандарт σ√3/√2, и дисперсия нашей оценки A будет равна
При этих предположениях наша точность будет точно такой же, как и точность при 4/3 независимых измерениях вместо 2, но все же больше точности одного прямого измерения.
Мы можем обосновать предположение о том, что ошибка от неточного совпадения концов имеет штандарт σ/√2, следующим образом. Представим себе s (или d) как сумму двух независимых ошибок измерения, каждую с дисперсией σ²/2. Тогда сумма слагаемых ошибок имеет дисперсию, которую мы считали
равной σ². Если мы припишем дисперсию σ²/2 и третьему слагаемому, то такая модель будет согласовываться с исходной.
50. Решение задачи о квадратных уравнениях со случайными коэффициентами
Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b, c) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B (рис. 22). Решим задачу при фиксированном B, а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.
Рис. 22. Серая область отвечает случаю вещественных корней.
Для того чтобы уравнение имело вещественные корни, необходимо и достаточно, чтобы
b² − c ≥ 0.
На приведенном рисунке изображена парабола b² = c и показана область, где наше уравнение имеет вещественные корни для B = 4.
Нетрудно подсчитать, что площадь незаштрихованной области равна 4/3∙B>3/2 (при B ≥ 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B². Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/3∙√B. При B = 4 ответ равен 1/6. С ростом B 1/√
