Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями - [26]

52. Решение вадачи о трехмерном случайном блуждании

Поскольку мы знаем, что в случае одного и двух измерений частица возвращается в начало с вероятностью 1, то не будет ли естественно предположить, что она вернется туда заведомо при любом числе измерений? Казалось бы да, но этот ответ не верен.

В нашем случае положение частицы задается тремя координатами, и вероятность того, что все три координаты равны 0 после 2n шагов, есть

P(частица в начале) = P(X=0)·P(Y=0)·P(Z=0) = .

Применим снова формулу Стирлинга. Мы видим, что на 2n-м шаге

P(частица в начале) = 1/(πn)^3/2.

Покажем, что сумма ∑1/n^3/2 ограничена. Заменим для этого 1/n^3/2 площадью прямоугольника с основанием между точками n и n+1 и высотой 1/n^3/2 (рис. 23).

Рис. 23. Доказательство сходимости ряда ∑1/n^3/2

Проведем кривую f(n) = 1/(n − 1)^3/2 через вершины правых углов прямоугольников.

Площадь под кривой превосходит площадь соответствующих прямоугольников и

При N → ∞ это выражение стремится к 2(n − 1)^1/2 — конечному пределу. Это показывает, что и предел суммы средних конечен.

Мы можем оценить это число, сложив несколько первых членов ряда

и приблизив «остаток» суммы соответствующим интегралом, что дает приблизительно 0.315. После 10 или, скажем, 20 членов формула Стирлинга очень точна, и остаток, оцениваемый интегралом, весьма мал. Автор при расчете использовал 18 слагаемых. Число 0.315 есть среднее число возвращений частицы в начало координат. Следовательно, 1/Q = 1 + 0.315, и мы получаем Q = 1/1.315 ≈ 0.761.

Поэтому вероятность P того, что частица вернется в начало координат, приблизительно равна 0.239.

Для читателей, знакомых с результатами о случайных блужданиях, где частица сдвигается в центры граней окружающего куба, а не в его вершины, известно, что доля возвращающихся частиц равна приближенно 0.35[11], так что для восьми равновероятных шагов шансы на возвращение значительно меньше, чем для шести.

Та же техника в случае 4-мерного блуждания, когда для определения вектора, на который сдвигается частица, бросают четыре монеты, показывает, что вероятность возвращения снижается до 0.105.

53. Решение задачи об игле Бюффона

Это, пожалуй, наиболее известная задача, связанная с геометрическими вероятностями. На рис. 24 показаны положения иглы, при которых она касается одной из прямых. Из соображений симметрии понятно, что достаточно рассмотреть лишь промежуток между какими-нибудь двумя прямыми.

Рис. 24. Иглы, обозначенные пунктиром, пересекают одну из прямых, а проведенные сплошной линией — касаются одной из прямых.

Положение иглы вдоль вертикали не играет здесь никакой роли, так как ее сдвиг вверх или вниз не влияет на пересечение соответствующей прямой. Ясно также, что положение иглы определяется углом между направлением иглы и прямой и расстоянием от центра иглы до ближайшей прямой. Центр P в предположении его равномерного распределения может занять любое положение между прямыми с одинаковой вероятностью, и при фиксированном значении угла θ вероятность того, что игла пересечет одну из прямых, равна 2x/2a, так как для пересечения необходимо, чтобы центр иглы упал на расстоянии, меньшем, чем x, от какой-нибудь из прямых (см. рисунок). Мы можем считать, что угол θ равномерно распределен на отрезке от 0 до π/2 (или от 0° до 90°). Действительно, если игла пересекает прямую при угле θ, то это положение вещей сохранится и при угле π − θ (или 180° − θ). Итак, нам надо найти среднее значение величины x/a или, так как x = l∙cos θ, среднее величины (l/a)∙cos θ. Это математическое ожидание вычисляется интегрированием

Число π/2 в знаменателе левой части предыдущего равенства является нормирующим множителем для распределения угла θ, 0 < θ < π/2. Так как длина иглы равна 2l, то

P(игла пересечет прямую) = 2×(длина иглы)/(длина окружности радиуса α).

Чем объяснить известную популярность этой задачи? Автор считает, что это связано с возможностью экспериментального определения числа π. Плоскость с параллельными прямыми может быть реализована как разграфленная бумага. Если расстояние между прямыми равно длине иглы, то число π может быть оценено как 2/(относительная частота пересечений). Большой точности при этом способе определения π достичь трудно, оценка всегда является рациональным числом, но все же сама возможность определения такой мировой постоянной, как π, опытным путем представляется весьма интересной. Более удобный метод вычисления числа π будет предложен в задаче 55.

Любопытные задачи на подсчет геометрических вероятностей имеются в книге Кендалл М., Моран П., Геометрическая вероятность, «Наука», 1972 г.

54. Решение задачи об игле Бюффона с вертикальными и горизонтальными прямыми

Среднее число пересечений вертикальных прямых равно вероятности пересечения одной такой прямой.

Из предыдущей задачи (a = 1/2) известно, что эта вероятность равна 4l/π. Среднее число пересечений вертикальных прямых также равно 4l/π, что можно заметить, поворачивая нашу решетку на 90°. Среднее суммы равно сумме средних, и ответ равен 8l/π.

Если игла единичной длины, то среднее число пересечений равно 4/π ≈ 1.27.

До этого предполагалось, что игла короче, чем расстояние между прямыми. В следующей задаче это условие не выполнено.