Путеводитель для влюбленных в математику - [32]
Концепция наибольшего общего делителя тесно связана с концепцией наименьшего общего кратного. Для двух положительных целых чисел (допустим, 10 и 15) наименьшее общее кратное – это самое маленькое положительное целое число, которое делится на то и на другое; в нашем случае ответ равен 30. Мы будем использовать обозначение НОК (a, b).
Наименьшее общее кратное полезно при сложении дробей. Например, для сложения 1/10 и 1/15 вначале нужно привести обе дроби к общему знаменателю. Это может быть любое число, которое делится на 10 и на 15; проще всего найти НОК. Так как НОК (10, 15) = 30, то
Найти наименьшее общее кратное для маленьких чисел не слишком сложно, но как быть с большими числами? Скажем, чему равно наименьшее общее кратное 364 и 286?
Один вариант состоит в том, чтобы последовательно выписывать числа, кратные первому и второму, и уповать, что рано или поздно они совпадут[141]:
числа, кратные 364 → 364, 728, 1092, 1456, 1820, 2184, …
числа, кратные 286 → 286, 572, 858, 1144, 1430, 1716, 2002, …
Вскоре мы дойдем до 4004 и запишем ответ: НОК (364, 286) = 4004.
Вот еще одна идея. Разложим 364 и 286 на простые множители:
364 = 2 × 2 × 7 × 13;
286 = 2 × 11 × 13.
Числа, кратные 364, должны делиться на 2 × 2 × 7 × 13, а числа, кратные 286, должны делиться на 2 × 11 × 13. При конструировании наименьшего общего кратного мы должны воспользоваться этими простыми числами – два раза по 2, затем 7, 11 и 13 (нам ни к чему брать два раза по 13):
2 × 2 × 7 × 11 × 13 = 4004.
Разумеется, 4004 и есть наименьшее общее кратное 364 и 286.
Этот метод выглядит потрясающе, однако – как я уже объяснил в главе 1 – мы не знаем эффективного алгоритма разложения больших чисел на простые множители.
Хотя разложение на простые множители не дает достаточно эффективного алгоритма вычисления НОК двух чисел, оно делает важную подсказку. Давайте сравним, как используется разложение на множители при вычислении НОК и НОД.
Вот семь простых множителей двух чисел, взятые вместе:
Мы находим НОД (364, 286) с помощью двух общих простых делителей: 2 и 13.
Для вычисления НОК (364, 286) нам нужны все простые числа в двух списках, хотя нет нужды брать два раза по 13 (достаточно одного) и три раза по 2 (достаточно двух). Иными словами, мы берем каждое простое число из того списка, где оно встретилось большее число раз. Таким образом, нам нужны пять чисел: 2, 2, 7, 11 и 13.
Проверяем:
НОД (364, 286) = 26 = 2 × 13;
НОК (364, 286) = 4004 = 2 × 2 × 7 × 11 × 13.
Заметим, что при подсчете НОК мы выкинули именно те числа, которые нужны для вычисления НОД:
Иначе говоря,
364 × 286 = (2 × 2 × 7 × 13) × (2 × 11 × 13) = (2 × 2 × 7 × 11 × 13) × (2 × 13) = НОК (364, 286) × НОД (364, 286).
Мы можем обобщить этот пример. Для любых двух целых положительных чисел a и b
a × b = НОК (a, b) × НОД (a, b).
Таким образом,
Так как алгоритм Евклида позволяет эффективно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, он также годится – с учетом тождества (D) – для эффективного вычисления наименьшего общего кратного.
Часть II
Геометрические фигуры
Глава 13
Треугольники
Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех прямых отрезков, соединяющих три точки. В главе 13 мы рассмотрим общеизвестные свойства этих незамысловатых фигур и приподнимем покров над их тайнами. А начнем мы с двух всем знакомых формул: суммы углов и площади треугольника.
Возможно, самый известный факт, касающийся треугольников, – то обстоятельство, что если мы измерим все три угла и сложим эти величины, то получим 180°.
Почему мы так уверены? Нет, не стоит вырезать из бумаги тысячи треугольников и вымерять их углы транспортиром! Есть путь попроще.
Возьмем треугольник – любой треугольник – и обозначим его вершины буквами A, B, C, а величину углов соответственно x, y, z. Нам нужно убедиться, что x + y + z = 180°.
Нарисуйте (все равно, на бумаге или в воображении) прямую L, проходящую через точку B и параллельную AC:
Продолжите отрезки AB и BC таким образом, чтобы они пересекали прямую L. В результате появятся три новых угла.
Обратите внимание, что они образуют развернутый угол и в сумме дают 180°.
На чертеже мы обозначили новые углы x, y, z, так как они в точности равны углам треугольника. Почему это происходит?
Когда две параллельные прямые пересекают третью, образуются два соответственных угла, которые равны друг другу. Кроме того, при пересечении двух прямых образуются два вертикальных угла, которые тоже равны друг другу. Это изображено на чертеже.
Взгляните на три новых угла x, y, z. Поскольку AC и L параллельны, прямая AB отсекает два равных соответственных угла – оба по x градусов. Точно так же прямая BC отсекает еще два равных соответственных угла – оба по z градусов. И, наконец, прямые AB и BC пересекаются в точке B и образуют два вертикальных угла – оба по y градусов.
Суммируем всё, что мы выяснили:
• Три новых угла охватывают ровно одну сторону линии L, поэтому их сумма – 180°.
• Три новых угла имеют ту же величину, что и три угла треугольника.
Поэтому мы заключаем, что x + y + z = 180°, как и было обещано.
Бессчетное число школьников зазубривает: «Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту». Напомню: основание – одна из сторон, а высота – кратчайшее расстояние от этой стороны до противолежащей вершины.
