Путешествие к далеким мирам - [136]

,

L, а — в радиусах земного шара.

Примеры использования формул

1. Какова должна быть скорость корабля при взлете с Земли для того, чтобы он смог совершить полет на Меркурий по наивыгоднейшей, то есть касательной, эллиптической орбите?

>Траектория полета на Меркурий по касательной эллиптической орбите.

В этом случае

и

Так как круговая скорость Земли равна 29,8 км/сек, то, очевидно, кораблю при взлете нужно сообщить скорость против направления движения Земли по орбите, равную 29,8 — 22,3 = 7,5 км/сек.

2. Какова будет скорость корабля в упомянутой выше задаче на орбите Меркурия?

В этом случае L₂=0,387 а. е., а = 0,6935 а. е., вследствие чего

Так как круговая скорость Меркурия равна 47,9 км/сек (это можно проверить и так — она равна круговой скорости Земли, деленной на √0,387, то есть то корабль будет двигаться быстрее Меркурия на величину 57,5 — 47,9 = 9,6 км/сек.

>Траектория полета ракеты с Земли на спутник.

3. Какова должна быть взлетная скорость ракеты, доставляющей о Земли груз на искусственный спутник, находящийся на суточной орбите (высота 35 800 км), если сопротивление воздуха не учитывать? Какова будет скорость этой ракеты на орбите спутника?

В этом случае

При взлете L₁ = 1, поэтому

На орбите поэтому

Примечание. Для решения этой задачи можно воспользоваться соотношением, связывающим величины скоростей в апогее и перигее эллиптической орбиты:

V >ап · L >ап = V >пер. L >пер ,

где V_ап., V_пер. — соответственно скорости движения в апогее и перигее (в задаче V₂, V₁);

L_ап, L_пер., — расстояния апогея и перигея от центра Земли (в задаче L₂, L₁).

Это соотношение непосредственно вытекает из закона сохранения момента количества движения.

Так как L_ап = L₂ = 6,6; L_пер = 1 и V_пер.= V₁ = 10,4 км/сек, то

Точно так же в предыдущей задаче

4. Какова будет скорость советской искусственной планеты в ее движении вокруг Солнца?

По предварительным сведениям, опубликованным в советской печати, наибольшее расстояние новой планеты от Солнца будет равно 197,2 миллиона километров, а наименьшее — 146,4 миллиона километров. Следовательно, большая ось орбиты будет равна 343,6 миллиона километров.

Но тогда и максимальная скорость планеты (в перигелии):

а минимальная скорость (в афелии):

VI. ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПОЛЕТА ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ

При движении по эллипсу вокруг Солнца продолжительность полного обращения может быть определена с помощью третьего закона Кеплера, по которому квадраты времен обращения планет относятся как кубы их средних расстояний от Солнца (то есть кубы больших полуосей эллиптических орбит):

где Т — продолжительность одного обращения;

а — большая полуось эллиптической орбиты.

Проще всего производить сравнение с периодом обращения Земли, равным, как известно, одному году, или 365 суткам. Тогда

Т = 365·a >3/2

где Т — в сутках, а — в астрономических единицах.

При движении вокруг Земли период обращения можно сравнивать с периодом обращения кругового спутника у самой поверхности, то есть на высоте Н = О. Этот период равен, как указывалось выше, 5070 секундам.

Поэтому

Т = 5070·a >3/2

где Т — в секундах,

а — в радиусах земного шара.

Примеры использования формул

1. Какова продолжительность полета корабля с Земли до Меркурия по наивыгоднейшему касательному полуэллипсу?

Период обращения по наивыгоднейшему эллипсу

Т = а >3/2 = 0,693 >3/2 ≈ 0,58 лет.

Продолжительность полета

2. Какова продолжительность полета грузовой ракеты с Земли до суточной орбиты по касательному полуэллипсу (сопротивлением воздуха и активным участком траектории пренебрегаем)?

Т =5070·3,8 >3/2 = 37 600 секунд

Продолжительность полета

= 18 800 секунд, или ≈5,2 часа.

3. Какова продолжительность полета на Луну по наивыгоднейшему касательному полуэллипсу?

В этом случае поэтому Т = 5070 · 30,6^3/2 ≈ 860 000 секунд, или около 240 часов.

Продолжительность полета

≈ 120 часов (5 суток).

4. Какова величина больших полуосей орбит советских искусственных спутников?

В начале движения периоды обращения советских искусственных спутников равнялись:

первого спутника

Т >1 = 96,17 минуты = 5770 секунд;

второго спутника

Т >2 = 103,75 минуты = 6225 секунд;

третьего спутника

Т >3 = 106 минут= 6360 секунд.

По формуле Т = 5070 ^3/2 находим:

Истинные величины больших полуосей отличаются от приведенных выше приближенных, которые даны лишь в качестве иллюстрации.

5. Каков период обращения советской искусственной планеты, запущенной 2 января 1959 года?

Так как для этого случая а =1,145 (см. выше), то

Т = 365·1,145 >3/2 ≈ 450 суток,

что соответствует данным, опубликованным в советской печати.

VII. ФОРМА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ

Для определения эллиптической орбиты, помимо величины большой полуоси, необходимо знать еще один из элементов орбиты — малую полуось b, полуфокусное расстояние с или эксцентриситет е. Эти величины связаны следующими соотношениями:

полуфокусное расстояние

с = √ a >2 — b >2

эксцентриситет

Для искусственных спутников Земли очевидны также следующие соотношения:

средняя высота спутника над Землей

H >ср = a — 6378 км ,

или где H_ап. — высота апогея орбиты;

H_пер.— высота перигея орбиты;

полуфокусное расстояние орбиты

Примеры использования формул

1. Определить элементы орбит советских искусственных спутников Земли по известным высотам апогея и перигея.