Путешествие к далеким мирам - [135]
Высота спутника не меняется в том случае если он каждое мгновение на столько же удаляется от Земли в своем движении по инерции, на сколько приближается к ней в результате непрекращающегося падения на Землю. Это и позволяет найти необходимую круговую скорость спутника.
Рассмотрим движение спутника за 1 секунду, причем для простоты будем считать, что спутник движется у самой поверхности Земли, то есть высота равна нулю. Тогда за 1 секунду спутник приблизится к центру Земли, в результате притяжения к ней, на величину
На эту же величину он должен удалиться от центра Земли, что позволяет построить прямоугольный треугольник (см. рисунок).
По теореме Пифагора
Эту же задачу можно решить и иначе. Если высота спутника не меняется, то это значит, что его центростремительное ускорение в точности равно ускорению земного тяготения. (Это вовсе не означает, как иногда пишут, что центробежная сила «уравновешивает» вес спутника.)
Следовательно,
и
как и ранее.
Очевидно; на высоте Н
Но так как то
Это значит, что круговая скорость изменяется обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до центра Земли.
| Высота Н в км | Круговая скорость Vкр. в м/сек |
|---|---|
| 0 | 7 910 |
| 255 | 7 760 |
| 1 000 | 7 360 |
| 1 670 | 7 040 |
| 35 800 | 3 080 |
| 384 000 (орбита Луны) | 1 010 |
Б. Период обращения спутника
Время, за которое спутник совершит один полный оборот вокруг Земли, равно, очевидно, длине пути за оборот, деленной на круговую скорость:
(Т — так называемый сидерический, или звездный, период обращения).
Но вследствие чего
Подстановка значений R и g>0 дает следующую довольно точную для приближенных расчетов формулу:
| Высота Н в км | Период обращения спутника Т в сек |
|---|---|
| 0 | 5 070 (1,4 часа) |
| 255 | 5 400 (1,5 часа) |
| 1 000 | 6 340 (1,76 часа) |
| 1 670 | 7 200 (2 часа) |
| 35 800 | 86 400 (24 часа) |
| 384 000 | 2,36·10>6 (27,3 суток) |
III. СКОРОСТЬ ОТРЫВА (ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ)
Скорость отрыва (или параболическая скорость) есть та скорость, которая должна быть сообщена телу у поверхности Земли, чтобы полностью преодолеть поле земного тяготения — удалить тело в бесконечность.
Величина скорости отрыва V>отр. определяется тем, что кинетическая энергия тела должна в этом случае в точности равняться работе преодоления поля тяготения; с помощью высшей математики получаем:
то есть работа полного преодоления поля земного тяготения равна работе поднятия тела при постоянном ускорении силы тяжести, равном его значению у земной поверхности g>0, на высоту земного радиуса R.
Так как √g>0R есть круговая скорость, то скорость отрыва V>отp. в 1,41 раза больше круговой скорости:
| Высота Н в км | Скорость отрыва У>отр. в км/сек |
|---|---|
| 0 | 11,2 |
| 300 | 10,9 |
| 1 000 | 10,4 |
| 1 670 | 9,9 |
| 35 800 | 4,3 |
| 384 000 | 1,42 |
IV. ОБЩИЙ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО КОРАБЛЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ОДНОГО НЕБЕСНОГО ТЕЛА
Примеры движения по кругу или по параболе, о которых шла речь выше, являются лишь частными случаями движения тела в поле тяготения небесного тела большой массы. Как известно из небесной механики, в общем случае орбитой такого движения является одна из кривых второго порядка (так называемых конических сечений): круг, эллипс, парабола или гипербола. Общий закон этого движения дается следующей формулой (так называемое уравнение живых сил, упрощенное для случая космического корабля, то есть тела небольшой массы):
или где V — скорость движения тела массы пренебрежимо малой по сравнению с М;
М — масса небесного тела;
f — гравитационная постоянная;
L — расстояние до центра тяжести небесного тела;
а — большая полуось орбиты;
g>0 — ускорение силы тяжести на поверхности небесного тела на расстоянии R>0 от его центра.
Как видно из формул, характер орбиты зависит лишь от величины, но не направления скорости V. Различные типы орбит соответствуют следующим частным случаям:
а) а = ∞,
орбита — парабола;
б) а > ◯, V < V>параб., орбита — эллипс;
в) L = а, V = V>круг =
частный случай эллиптической орбиты — круговая;
г) а < ◯, V>V>параб., орбита — гипербола (V >гиперб.).
По какой орбите будет двигаться космический корабль, летящий на расстоянии 100 000 км от центра Земли со скоростью 5 км/сек?
По формуле откуда a ≈ — 24 000;
так как а < ◯, то V = V>гиперб., орбита — гипербола.
V. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ
Наиболее важными для астронавтики являются эллиптические орбиты, по которым будут двигаться не только все новые искусственные спутники Земли, но чаще всего и космические корабли. Полет по гиперболической орбите — дело более отдаленного будущего (советская космическая ракета, запущенная 2 января 1959 года, летела в поле земного тяготения по гиперболе, а вокруг Солнца движется по эллипсу).
Формулы расчета эллиптических орбит могут быть получены из приведенного выше уравнения живых сил путем упрощений;
для движения вокруг Солнца:
где V — в км/сек,
L,a — в астрономических единицах (1 а. е. — расстояние от Земли до Солнца, равное примерно 150·10>6 км);
для движения вокруг Земли:
где V — в км/сек
