Пространства, времена, симметрии - [90]
Простая группа класса Е6, локально изоморфна группе проективных преобразований 2-мерной октонионной проективной плоскости, на этой плоскости точки двойственны прямым линиям.
В случае простой группы класса D4 диаграмма Дынкина обладает трехсторонней симметрией. Для этой группы Картан в той же статье 1925 г. сформулировал принцип тройственности. Для 7-мерных вещественных эллиптического пространства и псевдоэллиптического пространства индекса 4, группы движений которых являются компактной и расщепленной группами этого класса, тройственными образами являются 3-мерные плоские образующие абсолюта двух семейств и точки абсолюта, Эти образы мнимы в эллиптическом пространстве и вещественнын в псевдоэллиптическом пространстве. В обоих случаях вещественными тройственными образами являются прямые и паратактические конгруенции двух семейств. Из последнего факта вытекает изоморфизм группы движений 7-мерного вещественного псевдоэллиптического пространства индекса 2 и группы симплектических преобразований 3-мерного кватернионного симплектического пространства, а также интерпретация Л.В.Румянцевой одного из этих пространств в другом.
Симплектическая и метасимплектическая геометрии Фрейденталя
В серии работ под общим названием "Отношения групп Е7 и Е8 к октонионной плоскости", опубликованной в 1954 -1963 гг., Фрейденталь нашел геометрические интерпретации некоторых некомпактных простых групп Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8 Фрейденталь ввел понятие 5-мерного октонионного симплектического пространства. Это пространство нельзя определить как проективное пространство с более узкой группой преобразований. так как над алгеброй О не существует проективных пространств размерности больше 2. Фрейденталь называл 5-мерным октонионным симплектическим пространством только аналог многообразия 2-мерных нуль-плоскостей 5-мерного кватернионного симплектического пространства. Фрейденталь доказал, что группа симплектических преобразований этого пространства является некомпактной простой группой Ли класса Е7 с характером -25.
В той же серии работ Фрейденталь определил четыре метасимплектические геометрии - вещественную, комплексную, кватернионную и октонионную, и доказал, что группами преобразований этих геометрий являются, соответственно, расщепленная простая группа Ли класса F4 и некомпактные вещественные простые группы Ли класса Е6 с характером -26, класса Е7 с характером -25 и класса Е8 с характером - 24.
В моих дальнейших работах я доказал, что расщепленная простая группа Ли класса Е7 локально изоморфна группе симплектических преобразований псевдооктонионного аналога 5-мерного симплектического пространства Фрейденталя, а расщепленные простые группы Ли классов F4, Е6, Е7 и Е8 локально изоморфны группам преобразований псевдооктонионных аналогов метосимплектических геометрий Фрейденталя.
Изоморфизмы групп преобразований этих геометрий и групп движений эрмитовых эллиптических плоскостей над различными алгебрами определяют интерпретации этих геометрий на указанных плоскостях.
В той же серии работ Фрейденталь определил "магический квадрат", состоящий из 16 простых и полупростых групп Ли, расположенных в виде квадрата. В 1-й строке этого квадрата находятся группы движений 2- мерных вещественной эллиптической плоскости и комплексной кватервионной и октонионной эрмитовых эллиптических плоскостей, во 2-й строке - группы проективных преобразований 2-мерных вещественной, комплексной, кватернионной и октонионной проективных плоскостей, в 3- ей строке - группы симплектических преобразований 5-мерных вещественного, комплексного, кватернионного и октонионного симплектических пространств, в 4-ой строке - группы преобразований вещественной, комплексной, кватернионной и октонионной метасимплектических геометрий. Название метасимплектических геометрий определяется их положением в этом квадрате после симплектических пространств.
Этот квадрат обладает замечательным свойством симметрии: группы симметричные относительно главной диагонали квадрата являются группами одного и того же класса и ранга. Эта симметрия следует из того, что группы 2-й строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру C', группы 3-ей строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру H', группы 4-й строки этого квадрата изоморфны группам движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр R, C, H и О на алгебру О'.
Заменяя в этом квадрате алгебры C', H' и О' полем С и телами Н и О, мы получим "магический квадрат" для компактных групп. Заменяя в квадрате Фрейденталя поле С и тела Ни О алгебрами C', H' и О', мы получим "магический квадрат" для расщепленных групп.
Если мы заменим в "магическом квадрате" Фрейденталя для компактных групп каждую группу движений эллиптической плоскости прямой линией этой плоскости, мы получим аналог квадрата Фрейденталя эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру H, третьей строке - эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру H, в четвертой строке - эрмитовы эллиптические прямые над тензорными произведениями алгебр R, C, H, О на алгебру О.
Авторы обратились к личности экс-президента Ирака Саддама Хусейна не случайно. Подобно другому видному деятелю арабского мира — египетскому президенту Гамалю Абдель Насеру, он бросил вызов Соединенным Штатам. Но если Насер — это уже история, хотя и близкая, то Хусейн — неотъемлемая фигура современной политической истории, один из стратегов XX века. Перед читателем Саддам предстанет как человек, стремящийся к власти, находящийся на вершине власти и потерявший её. Вы узнаете о неизвестных и малоизвестных моментах его биографии, о методах руководства, характере, личной жизни.
Борис Савинков — российский политический деятель, революционер, террорист, один из руководителей «Боевой организации» партии эсеров. Участник Белого движения, писатель. В результате разработанной ОГПУ уникальной операции «Синдикат-2» был завлечен на территорию СССР и арестован. Настоящее издание содержит материалы уголовного дела по обвинению Б. Савинкова в совершении целого ряда тяжких преступлений против Советской власти. На суде Б. Савинков признал свою вину и поражение в борьбе против существующего строя.
18+. В некоторых эссе цикла — есть обсценная лексика.«Когда я — Андрей Ангелов, — учился в 6 «Б» классе, то к нам в школу пришла Лошадь» (с).
У меня ведь нет иллюзий, что мои слова и мой пройденный путь вдохновят кого-то. И всё же мне хочется рассказать о том, что было… Что не сбылось, то стало самостоятельной историей, напитанной фантазиями, желаниями, ожиданиями. Иногда такие истории важнее случившегося, ведь то, что случилось, уже никогда не изменится, а несбывшееся останется навсегда живым организмом в нематериальном мире. Несбывшееся живёт и в памяти, и в мечтах, и в каких-то иных сферах, коим нет определения.
Патрис Лумумба стоял у истоков конголезской независимости. Больше того — он превратился в символ этой неподдельной и неурезанной независимости. Не будем забывать и то обстоятельство, что мир уже привык к выдающимся политикам Запада. Новая же Африка только начала выдвигать незаурядных государственных деятелей. Лумумба в отличие от многих африканских лидеров, получивших воспитание и образование в столицах колониальных держав, жил, учился и сложился как руководитель национально-освободительного движения в родном Конго, вотчине Бельгии, наиболее меркантильной из меркантильных буржуазных стран Запада.
Результаты Франко-прусской войны 1870–1871 года стали триумфальными для Германии и дипломатической победой Отто фон Бисмарка. Но как удалось ему добиться этого? Мориц Буш – автор этих дневников – безотлучно находился при Бисмарке семь месяцев войны в качестве личного секретаря и врача и ежедневно, методично, скрупулезно фиксировал на бумаге все увиденное и услышанное, подробно описывал сражения – и частные разговоры, высказывания самого Бисмарка и его коллег, друзей и врагов. В дневниках, бесценных благодаря множеству биографических подробностей и мелких политических и бытовых реалий, Бисмарк оживает перед читателем не только как государственный деятель и политик, но и как яркая, интересная личность.