Пространства, времена, симметрии - [82]
Аналогично определяются комплексные и кватернионные эрмитовы гиперболическое, псевдоэллиптические и псевдогипербопические пространства, но точки этих пространств изображаются точками одной из двух областей, на которые эрмитова гиперквадрика (x,x)=0 делит проективное пространство.
Эрмитова гиперквадрика (x,x)=0, мнимая в случае эллиптических пространств, называется абсолютом пространства. В случае псевдоэллиптических пространств, указанное двойное отношение, как и в случае эллиптических пространств, равно cos>2(d/r). В случае гиперболических и псевдогиперболических пространств это двойное отношение равно ch>2(d/q), где q>2 =(a,a) = (b,b).
Движениями эрмитовых неевклидовых пространств называются проективные преобразования этих пространств, переводящие в себя их абсолюты.
Числа 1/r>2 и -1/q>2 называются кривизнaми комплексных и кватернионных эрмитовых неевклидовых пространств.
Комплексные и кватернионные эрмитовы эллиптическое и гиперболическое пространства n измерений являются 2n-мерными и 4n- мерными римановыми пространствами, а n-мерные комплексные и кватернионные эрмитовы псевдоэллиптические и псевдогиперболические пространства индекса k изометричны 2n-мерным псевдоримановым пространствам индекса 2k и 4n-мерным псевдоримановым пространствам индекса 4k.
Прямые линии комплексного и кватернионного эрмитовых эллиптических пространств кривизны 1/r2 изометричны, соответственно, сфере радиуса r/2 в 3-мерном евклидовом пространстве и гиперсфере того же радиуса в 5-мерном евклидовом пространстве. Прямые линии остальных комплексных и кватернионных эрмитовых неевклидовых пространств также изометричны сферам 3-мерных пространств и гиперсферам 5-мерных пространств.
В комплексных и кватернионных эрмитовых эллиптических пространствах, так же, как в эрмитовых евклидовых пространствах, можно определить угол голоморфии j двумерной площадки и голоморфные и антиголоморфные двумерные площадки.
Секционная кривизна 2n-мерного и 4n-мерного римановых пространств изометричных n-мерным комплексному и кватернионному эрмитовым эллиптическим пространствам в 2-мерных направлениях равна K=(1+3cos j)/r>2, где j - угол голоморфности 2-мерной площадки в этом направлении, К=1/r>2 в антиголоморфных площадках и К=4/r>2 в голоморфных площадках. Поэтому римановы пространства изометричные комплексным и кватернионным эрмитовым эллиптическим пространствам называются пространствами постоянной голоморфной секционной кривизны. В этих пространствах можно определить также формулы тригонометрии, которые связывают длины сторон a, b, c геодезических треугольников, их углы А, В, С и углы голоморфии в их вершинах.
Угол голоморфии, голоморфные и антиголоморфные площадки, выражение секционной кривизны в 2-мерном направлении через угол голоморфии и формулы тригонометрии можно определить и в других комплексных и кватернионных эрмитовых неевклидовых пространствах. Римановы и псевдоримановы пространства изометричные этим комплексным и кватернионным пространствам также называются пространствами постоянной голоморфной секционной кривизны.
Комплексные и кватернионные эрмитовы эллиптические и гиперболические пространства допускают интерпретации в вещественных 2n-мерном и 4n-мерном евклидовых пространствах. Гиперболические эрмитовы пространства допускают интерпретацию в шарах евклидовых пространств, причем прямые линии эрмитовых пространств изображаются сечениями шаров, соответственно, 2-мерными и 4-мерными плоскостями, а геодезические линии римановых пространств, изометричных гиперболическим пространствам, изображаются диаметрами этих сечений и дугами окружностей ортогональных гиперсферам, ограничивающим шары. Эллиптические эрмитовы пространства допускают интерпретации в полных евклидовых пространствах, причем прямые линии эрмитовых пространств изображаются, соответственно, 2-мерными и 4-мерными плоскостями, пересекающимися с некоторой гиперсферой, а геодезические линии римановых пространств, изометричных эллиптическим пространствам, изображаются прямыми линиями и окружностями, пересекающими эту гиперсферу в парах диаметрально противоположных точек.
Аналогичные эрмитовы неевклидовы пространства определяются над алгеброй C' двойных чисел и алгеброй H' псевдокватернионов. В отличие от пространств над полем С и телом Н в случаях алгебр C' и H' имеется только один вид эрмитовых неевклидовых пространств - эллиптические пространства ; n-мерные пространства этого типа изометричны 2n-мерным псевдоримановым пространствам индекса n и 4n-мерным псевдоримановым пространствам индекса 2n.
Над алгеброй С' двойных чисел можно определить такие же квадратичные пространства, как и над полем R, причем каждое из этих пространств над алгеброй C' допускает интерпретацию в виде пары одноименных вещественных пространств.
Геометрии пространств над полем C, телом H и алгебрами C' и H' посвящены 6 глава в моей книге 1955 г. и несколько глав в моей книге 1997 г. В этих главах описаны многие мои результаты и результаты моих учеников.
Группы Ли
Если группа явлается топологическим пространством и групповые операции являются гомеоморфными отображениями пространства на себя, такая группа называется топологической группой. Если топологическая группа является аналитическим многообразием, она называется группой Ли. В касательном пространстве в единице группы Ли определена операция коммутирования, ставящая в соответствие каждым двум векторам а и b их коммутатор [ab], причем выполняются условия [ab]=-[ba] и тождество Якоби [a[bc]]+[b[ca]]+[c[ab]]=0. Линейное пространство с такой операцией называется алгеброй Ли. Если из единицы е гроппы Ли выходит однопараметрическая подгруппа g(t), причем g(0)=e, g(t1+t2)=g(t1)g(t2), то за координаты вектора а алгебры Ли касательного к этой подгруппе можно принять производные координат элемента g(t) по t при t=0. Если подгруппам g(s) и h(t) соответствуют векторы а и b, то сумма a+b соответствует произведению g(s)h(t), a коммутатор [ab] cooтветствует произведению g(s)h(t)g(-s)h(-t).
18+. В некоторых эссе цикла — есть обсценная лексика.«Когда я — Андрей Ангелов, — учился в 6 «Б» классе, то к нам в школу пришла Лошадь» (с).
У меня ведь нет иллюзий, что мои слова и мой пройденный путь вдохновят кого-то. И всё же мне хочется рассказать о том, что было… Что не сбылось, то стало самостоятельной историей, напитанной фантазиями, желаниями, ожиданиями. Иногда такие истории важнее случившегося, ведь то, что случилось, уже никогда не изменится, а несбывшееся останется навсегда живым организмом в нематериальном мире. Несбывшееся живёт и в памяти, и в мечтах, и в каких-то иных сферах, коим нет определения.
Патрис Лумумба стоял у истоков конголезской независимости. Больше того — он превратился в символ этой неподдельной и неурезанной независимости. Не будем забывать и то обстоятельство, что мир уже привык к выдающимся политикам Запада. Новая же Африка только начала выдвигать незаурядных государственных деятелей. Лумумба в отличие от многих африканских лидеров, получивших воспитание и образование в столицах колониальных держав, жил, учился и сложился как руководитель национально-освободительного движения в родном Конго, вотчине Бельгии, наиболее меркантильной из меркантильных буржуазных стран Запада.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Данная книга не просто «мемуары», но — живая «хроника», записанная по горячим следам активным участником и одним из вдохновителей-организаторов событий 2014 года, что вошли в историю под наименованием «Русской весны в Новороссии». С. Моисеев свидетельствует: история творится не только через сильных мира, но и через незнаемое этого мира видимого. Своей книгой он дает возможность всем — сторонникам и противникам — разобраться в сути процессов, произошедших и продолжающихся в Новороссии и на общерусском пространстве в целом. При этом автор уверен: «переход через пропасть» — это не только о событиях Русской весны, но и о том, что каждый человек стоит перед пропастью, которую надо перейти в течении жизни.
Результаты Франко-прусской войны 1870–1871 года стали триумфальными для Германии и дипломатической победой Отто фон Бисмарка. Но как удалось ему добиться этого? Мориц Буш – автор этих дневников – безотлучно находился при Бисмарке семь месяцев войны в качестве личного секретаря и врача и ежедневно, методично, скрупулезно фиксировал на бумаге все увиденное и услышанное, подробно описывал сражения – и частные разговоры, высказывания самого Бисмарка и его коллег, друзей и врагов. В дневниках, бесценных благодаря множеству биографических подробностей и мелких политических и бытовых реалий, Бисмарк оживает перед читателем не только как государственный деятель и политик, но и как яркая, интересная личность.