Пространства, времена, симметрии - [81]
Если из точки А риманова пространства выходят геодезические линии АВ и АС, и углы геодезического треугольника АВС при его вершинах обозначены теми же буквами A, B, C, то предел отношения разности А+В+С-п, где углы А,В,С измерены в радианной мере, к площади треугольника АВС при стремлении точек В и С к А называется секционной кривизной риманова пространства в точке А в данном двумерном направлении.
Эллиптическое и гиперболическое пространства являются частными случаями риманова пространства. Так как площадь всякого прямолинейного треугольника АВС в эллиптическом пространстве, получаемом из гиперсферы радиуса r, равна r (A+B+C-п), эллиптическое пространство является римановым пространством постоянной положительной кривизны 1/r>2. Taк как площадь всякого прямолинейного треугольника АВС в гиперболическом пространстве, получаемом из гиперсферы мнимого радиуса r, равна r (A+B+C-pi),, гиперболическое пространство является римановым пространством постоянной отрицательной кривизны -1/q>2.
Aналогично определяется секционная кривизна в двумерном направлении в псевдоримановом пространстве.
Если в дифференцируемом многообразии для всяких двух бесконечно близких точек определено аффинное отображение касательных пространств в этих точках, многообразие называется пространством аффинной связности.
Если в римановом или псевдоримановом пространстве или в пространстве аффинной связности отражение от каждой точки по геодезическим линиям не изменяет расстояний между точками или сохраняет аффинную связность, пространство называется симметрическим пространством.
Геометрии вещественных евклидовых, псевдоевклидовых, неевклидовых, симметрических, римановых и псевдоримановых пространств посвящены многие главы моих книг 1955, 1966, 1969 и 1997 гг. При этом особое внимание я уделял интерпретациям неевклидовых пространств, так как считаю интерпретации "стереоскопическим зрением геометра", ибо свойства неевклидовых пространств, которые отличаются от свойст евклидова пространства и ускользают от нашего внимания в одних интерпретациях, хорошо видны в других интерпретациях.
Комплексные и кватернионные пространства
Комплексное квадратичное евклидово пространство определяется так же, как вещественное. Это же пространство является комплексной формой всех вещественных псевдоевклидовых пространств той же размерности. В случае комплексного и кватернионного эрмитовых евклидовых пространств скалярный квадрат (а,а) является вещественной положительно определенной эрмитовой формой, а в случае комплексного и кватернионного эрмитовых псевдоевклидовых пространств индекса k скалярный квадрат (а,а) является вещественной знаконеопределенной эрмитовой формой индекса k.
Расстояние между точками А и В эрмитова евклидова или псевдоевклидова пространства равно квадратному корню из скалярного квадрата (а,а) вектора а=АВ. Нетрудно проверить, что n-мерные комплексное и кватернионное эрмитовы евклидовы пространства изометричны, соответственно, 2n-мерному и 4n-мерному вещественным евклидовым пространствам, а комплексное и кватернионное эрмитовы псевдоевклидовы пространства индекса k изометричны, соответственно, 2n-мерному вещественному псевдоевклидову пространству индекса 2k и 4n-мерному вещественному псевдоевклидову пространству индекса 4k.
Движениями эрмитовых евклидовых и псевдоевклидовых пространств называются аффинные преобразования этих пространств, сохраняющие расстояния между точками.
Если а и b - два вектора комплексного или кватернионного эрмитова пространства, изображаемые в вещественных пространствах ортогональными векторами, то их скалярное произведение (a,b) равно ucos j, где u в случае комплексного пространства - мнимая единица i, a в случае кватернионного пространства - кватернион bi +cj +dk единичного модуля, а j называется углом голоморфности. Угол j равен 0, когда векторы а и b принадлежат одной прямой линии, и равен п/2, когдя эти векторы принадлежат одной нормальной n-цепи, т.е. множеству точек с вещественными координатами или тому, что получается из этого множества точек при движении пространства. Двумерные площадки, для которых j=0, называются голоморфными, а двумерные площадки, для которых j=n/2, называются антиголоморфными.
Аналогично, угол голоморфии и голоморфные и антиголоморфные двумерные площадки определяются в комплексных и кватернионных эрмитовых псевдоевклидовых пространствах.
Точки n-мерных комплексного и кватернионного эрмитовых эллиптических пространств можно представить прямыми линиями (n + 1)- мерных эрмитовых евлидовых пространств над полем С или телом Н, проходящими через одну точку, причем расстояние d между точками равно произведению угла между прямыми на число r, связанное с векторами а и b, направленными по прямым, представляющим эти точки соотношениями R>2 = (a,a) = (b,b). Поэтому cos>2(d/r) = (a,b)(b,a)/(a,a)(b,b). Отсюда следует, что комплексное и кватернионное эрмитовы эллиптические пространства можно определить как проективное пространство над полем С или телом Н, в котором задано расстояние d между точками А и В, представленными векторами а и b, по указанному равенству. Правая часть этого равенства равна двойному отношению точек А и В и точек пересечения полярных гиперплоскостей этих точек относительно эрмитовой гиперквадрики (x,x)=0 с прямой АВ.
18+. В некоторых эссе цикла — есть обсценная лексика.«Когда я — Андрей Ангелов, — учился в 6 «Б» классе, то к нам в школу пришла Лошадь» (с).
У меня ведь нет иллюзий, что мои слова и мой пройденный путь вдохновят кого-то. И всё же мне хочется рассказать о том, что было… Что не сбылось, то стало самостоятельной историей, напитанной фантазиями, желаниями, ожиданиями. Иногда такие истории важнее случившегося, ведь то, что случилось, уже никогда не изменится, а несбывшееся останется навсегда живым организмом в нематериальном мире. Несбывшееся живёт и в памяти, и в мечтах, и в каких-то иных сферах, коим нет определения.
Патрис Лумумба стоял у истоков конголезской независимости. Больше того — он превратился в символ этой неподдельной и неурезанной независимости. Не будем забывать и то обстоятельство, что мир уже привык к выдающимся политикам Запада. Новая же Африка только начала выдвигать незаурядных государственных деятелей. Лумумба в отличие от многих африканских лидеров, получивших воспитание и образование в столицах колониальных держав, жил, учился и сложился как руководитель национально-освободительного движения в родном Конго, вотчине Бельгии, наиболее меркантильной из меркантильных буржуазных стран Запада.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Данная книга не просто «мемуары», но — живая «хроника», записанная по горячим следам активным участником и одним из вдохновителей-организаторов событий 2014 года, что вошли в историю под наименованием «Русской весны в Новороссии». С. Моисеев свидетельствует: история творится не только через сильных мира, но и через незнаемое этого мира видимого. Своей книгой он дает возможность всем — сторонникам и противникам — разобраться в сути процессов, произошедших и продолжающихся в Новороссии и на общерусском пространстве в целом. При этом автор уверен: «переход через пропасть» — это не только о событиях Русской весны, но и о том, что каждый человек стоит перед пропастью, которую надо перейти в течении жизни.
Результаты Франко-прусской войны 1870–1871 года стали триумфальными для Германии и дипломатической победой Отто фон Бисмарка. Но как удалось ему добиться этого? Мориц Буш – автор этих дневников – безотлучно находился при Бисмарке семь месяцев войны в качестве личного секретаря и врача и ежедневно, методично, скрупулезно фиксировал на бумаге все увиденное и услышанное, подробно описывал сражения – и частные разговоры, высказывания самого Бисмарка и его коллег, друзей и врагов. В дневниках, бесценных благодаря множеству биографических подробностей и мелких политических и бытовых реалий, Бисмарк оживает перед читателем не только как государственный деятель и политик, но и как яркая, интересная личность.