Пространства, времена, симметрии - [84]
Как показали В.Киллинг и Э.Картан имеются 4 бесконечные серии алгебр Ли простых комплексных групп Ли, называемых группами классов An, Bn, Cn и Dn и 5 отдельных алгебр Ли простых комплексных групп Ли классов G2, F4, E6, E7, E8, где нижние индексы равны рангам групп. Группы классов An, Bn, Cn и Dn называются классическими простыми группами Ли, а группы пяти последних классов называются особыми простыми группами Ли.
Каждая из этих комплексных групп является комплексной формой нескольких локально изоморфных компактных групп и нескольких локально неизоморфных некомпактных групп.
Классические простые группы Ли
Группы классов A1, B1, C1 локально изоморфны; локально изоморфны также группы классов B2 и C2, и группы классов A3 и D3. Группа класса D2 полупроста и изоморфна прямому произведению двух групп класса A1. Группа класса D1 проста, но не полупроста, эта группа коммутативна и состоит из комплектных чисел cost + isint. Поэтому при перечислении простых полупростых групп Ли группы класса Ап можно начинать с группы A1, группы класса Bn можно начинать с группы B2 группы класса Cn можно начинать с группы C3 и группы класса Dn можно начинать с группы D4.
Комплексная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных (т.е. с единичным определителем) матриц алгебры CM(n + 1).
Расщепленная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных матриц алгебры M(n+1) и группе унимодулярных унитарных матриц алгебры C'M(n + 1).
Компактная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных унитарных матриц алгебры CM(n + 1).
Остальные вещественные некомпактные простые группы Ли класса An локально изоморфны группам унимодулярных псевдоунитарных матриц алгебры CM(n + 1) и группе унимодулярных матриц алгебры HM((n + 1)/2); в алгебре кватернионных матриц не существует определителей, но имеются вещественные функции матриц, называемые полуопределителями, и унимодулярными кватернионными матрицами называются матрицы с единичными полуопределителями.
Комплексная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе унимодулярных oртогональных матриц алгебры CM(2n + 1).
Компактная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе унимодулярных oртогональных матриц алгебры M(2n + 1)
Некомпактные вещественные простые группа Ли класса Bn локально изоморфны группам унимодулярных псевдоoртогональных матриц алгебры M(2n + 1).
Комплексная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических матриц алгебры CM(2n).
Расщепленная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических матриц алгебры M(2n) и группе унитарных матриц алгебры HM(n).
Компактная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе унитарных матриц алгебры HM(n).
Остальные некомпактные вещественные простые группы Ли класса Cn локально изоморфны группам псевдоунитарных матриц алгебры HM(n).
Компактная и расщепленная простые группы Ли класса C1 локально изоморфны, соответственно, группам автоморфизмов алгебр H и H'.
Комплексная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе унимодулярных ортогональных матриц алгебры CM(2n).
Kомпaктная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе унимодулярных ортогональных матриц алгебры M(2n).
Некомпaктные вещественные простые группы Ли класса Dn локально изоморфны группам унимодулярных псевдоортогональных матриц алгебры M(2n) и группе симплектических матриц алгебры HM(n).
Группы унимодулярных ортогональных и псевдоортогональных матриц алгебры M(n) являются фактор-группами подгрупп алгебр А(п) и А(n-k, k) по их инвариантным подгруппам, состоящим из элементов 1 и -1 ; эти подгруппы называются спинорными группами.
Рассщепленная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе проективных преобразований n-мерного вещественного проективного пространства.
Компактная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе движений n-мерного комплексного эрмитова эллиптического пространства.
Некомпактные вещественные простые группы Ли класса An локально изоморфны группам движений n-мерных комплексных эрмитовых гиперболического псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств и группе проективных преобразований (n-1)/2-мерного кватернионного проективного пространства.
Компактная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе движений 2n-мерного вещественного эллиптического пространства.
Некомпактные простые группы Ли класса Bn локально изоморфны группам движений 2n-мерных вещественных гиперболического, псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств.
Рассщепленная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических преобразований (2n-1)-мерного симплектического пространства.
Компактная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе движений (n-1)-мерного кватернионного эрмитова эллиптического пространства.
Остальные некомпактные вещественные простые группы Ли класса Cn локально изоморфны группам движений (n-1)-мерных кватернионных гиперболического, псевдоэллиптических и псевдогиперболических пространств.
Компактная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе движений (n-1)-мерного вещественного эллиптического пространства.
18+. В некоторых эссе цикла — есть обсценная лексика.«Когда я — Андрей Ангелов, — учился в 6 «Б» классе, то к нам в школу пришла Лошадь» (с).
У меня ведь нет иллюзий, что мои слова и мой пройденный путь вдохновят кого-то. И всё же мне хочется рассказать о том, что было… Что не сбылось, то стало самостоятельной историей, напитанной фантазиями, желаниями, ожиданиями. Иногда такие истории важнее случившегося, ведь то, что случилось, уже никогда не изменится, а несбывшееся останется навсегда живым организмом в нематериальном мире. Несбывшееся живёт и в памяти, и в мечтах, и в каких-то иных сферах, коим нет определения.
Патрис Лумумба стоял у истоков конголезской независимости. Больше того — он превратился в символ этой неподдельной и неурезанной независимости. Не будем забывать и то обстоятельство, что мир уже привык к выдающимся политикам Запада. Новая же Африка только начала выдвигать незаурядных государственных деятелей. Лумумба в отличие от многих африканских лидеров, получивших воспитание и образование в столицах колониальных держав, жил, учился и сложился как руководитель национально-освободительного движения в родном Конго, вотчине Бельгии, наиболее меркантильной из меркантильных буржуазных стран Запада.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Данная книга не просто «мемуары», но — живая «хроника», записанная по горячим следам активным участником и одним из вдохновителей-организаторов событий 2014 года, что вошли в историю под наименованием «Русской весны в Новороссии». С. Моисеев свидетельствует: история творится не только через сильных мира, но и через незнаемое этого мира видимого. Своей книгой он дает возможность всем — сторонникам и противникам — разобраться в сути процессов, произошедших и продолжающихся в Новороссии и на общерусском пространстве в целом. При этом автор уверен: «переход через пропасть» — это не только о событиях Русской весны, но и о том, что каждый человек стоит перед пропастью, которую надо перейти в течении жизни.
Результаты Франко-прусской войны 1870–1871 года стали триумфальными для Германии и дипломатической победой Отто фон Бисмарка. Но как удалось ему добиться этого? Мориц Буш – автор этих дневников – безотлучно находился при Бисмарке семь месяцев войны в качестве личного секретаря и врача и ежедневно, методично, скрупулезно фиксировал на бумаге все увиденное и услышанное, подробно описывал сражения – и частные разговоры, высказывания самого Бисмарка и его коллег, друзей и врагов. В дневниках, бесценных благодаря множеству биографических подробностей и мелких политических и бытовых реалий, Бисмарк оживает перед читателем не только как государственный деятель и политик, но и как яркая, интересная личность.