Пространства, времена, симметрии - [78]

Тензорным произведением АВ тех же двух алгебр А и В называется алгебра размерности mn, базисные элементы которой - произведения базисных элементов алгебр А и B, причем базисные элементы тензорных сомножителей коммутируют между собой.

Примерами алгебр являются:

алгебра С' двойных чисел а+be, e2= + 1, изоморфная прямой сумме R+R двух полей R,

алгебра М(п) вещественных матриц n-го порядка,

алгебра Н' псевдокватернионов a+bi+ce+df, i2=-1, e2= + 1, ie=-ei=f, изоморфная алгебре М(2),

алгебры СМ(п) и НМ(п) комплексных и кватернионных матриц n-го порядка, являющиеся тензорными произведениями алгебры M(n) на, соответственно, алгебру С или Н,

алгебра Cо дуальных чисел a+be, e2=0,

алгебра Но полукватернионов a+bi+ce+dh, i2=-1, e2=0, ie =-ei=h.

Алгебра A(n) альтернионов или чисел Клиффорда порядка n имеет размерность 2n-1, ee базис состоит из 1, i1,i2,...,in-1 для которых ik2= -1, и произведений различных одноиндексных элементов, причем ihik=-ikih. Aлгебры А(п) при n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 изоморфны, соответственно, полям R и С, телу Н и алгебрам Н + Н, HM(2), CM(4), М(8) и М(8)+М(8).

Заменяя в определении алгебры А(п) k элементов ih элементами еh для которых eh2= +1, мы получим алгебру A(n-k, k) псевдоальтернионов порядка n и индекса k. Алгебры А(1,1) и А(2,1) изоморфны, соответственно, алгебрам C' и H'.

Заменяя в определении линейного пространства поле R скаляров полем C или телом H мы получим комплексное или кватернионное линейное пространство.

Заменяя в определении линейного пространства поле скаляров алгеброй с делителями нуля, мы получим модуль. В модулях имеются особенные векторы, которые не равны 0, но их произведения на делитель нуля, могут быть равны 0.

Пространства над алгебрами

Аффинное пространство над алгеброй можно определить как множество элементов, называемых точками, ассоциированное с линейным пространством или модулем, причем всяким двум точкам А и В соответствует вектор а=АВ, всякой точке А и вектору а соответствует такая точка В, что а=АВ, и для всяких трех точек А, В и С сумма векторов АВ и ВС равна вектору АС.

Прямой линией аффинного пространства над алгеброй называется такое множество точек, что для любых двух точек А и В этого множества вектор АВ коллинеарен с некоторым вектором линейного пространства или с неособенным вектором модуля ; m-мерной плоскостью называется такое множество точек, что для любых двух точек А и В этого множества вектор АВ является линейной комбинацией m линейно независимых векторов линейного пространства или модуля.

Аффинные преобразования аффинного пространства имеют вид x'=Af(x) + b, где А и b - линейный оператор и вектор линейного пространства или модуля, a f(x) - автоморфизм алгебры.

Две прямые линии или m-мерные плоскости называются параллельными, если они определяются одними и теми же линейно независимыми векторами линейного пространства или модуля. Одну из двух параллельных линий или плоскостей можно перевести в другую параллельным переносом x'=x+a.

В афинных пространствах над алгебрами с делителями нуля имеются смежные точки и смежные и расходящиеся прямые линии. Две точки А и В называются смежными, если вектор АВ особенный. Две прямые линии называются смежными, если они содержат смежные точки. Две прямые линии называются расходящимися, если они не имеют общих точек, но могут быть переведены параллельным переносом в смежные прямые линии.

Проективное пространство над алгеброй является результатом дополнения аффинного пространства бесконечно удаленными и идеальными точками, причем каждая система параллельных линий имеет одну общую бесконечно удаленную точку, а идеальные точки, которые имеются только в случае алгебр с делителями нуля, определяются смежными прямыми. Точки n-мерного проективного пространства представляются векторами (n + 1)-мерного аффинного пространства с точностью до правых скалярних множителей. Прямые линии и m- мерные плоскости проективного простраства представляются 2-мерными и (m+1) -мерными подпространствами линейного пространства или подмодулями модуля.

Так как бесконечно удаленные точки, которыми дополнено аффинное пространство, представляются векторами m-мерного линейного подпространства или подмодуля, эти бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удаленную гиперплоскость проективного пространства. Идеальные точки представляются векторами, определяющими прямые смежные с прямыми, которые определяются векторами, представляющими бесконечно удаленные точки.

Проективные преобразования имеют вид x'=Af(x), где А - линейный оператор (n + 1)-мерного линейного пространства или модуля, а f(x) - автоморфизм алгебры.

Гиперплоскости, т.е. (n-1)-мерные плоскости аффинных и проективных пространств, определяются соответственными уравнениями ux+v=0 и ux=0, где u - ковектор линейного пространства или модуля, т.е. вектор пространства или модуля, сопряженного с рассматриваемым. В случае проективного пространства ковектор u определен с точностью до левых скалярных множителей, на этом основан принцип двойственности проективного пространства.

Если в аффинном пространстве над коммутативной алгеброй определено скалярное произведение векторов (a,b)=(b,a), т.е. скалярный квадрат (а,а) является квадратичной формой, мы получаем квадратичное евклидово или псевдоевклидово пространство.